Bac 2024 Mathématiques : sujet et corrigé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : Soit $(E)$ l'équation différentielle : $y^{\prime }-2y=-6x+1$
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-6x+1$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

Affirmation 2 : On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par
$$u_n=1+\frac{3}{4}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{3}{4}\right)}^n$$
La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$.

Affirmation 3 : On considère la suite $(u_n)$ définie dans l'affirmation 2.
L'instruction suite(50) ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

def suite(k):
    S = 0
    for i in range(k):
        S = S + (3/4)**k
    return S

Affirmation 4 : Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par
$$f(x)=a\ln (x)-2x$$
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$.
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à 0,85.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :

• si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à 0,6 ;
• si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à 0,6.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l'évènement contraire.

Partie A :
On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Démontrer que la probabilité de l'événement $R_2$ est égale à 0,57.
3. Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.
4. Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
   a. Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).
   b. Calculer l'espérance mathématique $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B :
On s'intéresse maintenant au cas général.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$.

1.
a. Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}(R_{n+1})$ et $P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})$.
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2x_n+0,4$
2. Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=x_n-0,5$
a. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
b. Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $(x_n)$.
c. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

• on se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, une unité représentant un mètre ;
• l'avion n°1 doit relier le point $O$ au point $A(0;200;0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de 200 m/s ;
• l'avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33;75;44)$ au point $C(87;75;-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de 200 m/s.
• au même instant, l'avion n°1 est au point $O$ et l'avion n°2 est au point $B$.

1. Justifier que l'avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l'avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
2. Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
3. Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?