Bac 2021 Mathématiques : sujet et corrigé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10000$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1}=0,95u_n+200.$$

1. Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2=9415$.
2. a. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :
   $$u_n>4000.$$
   b. On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante. Justifier qu'elle converge.
3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(v_n)$ définie par : $v_n=u_n-4000$.
   a. Calculer $v_0$.
   b. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.
   c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
   $$u_n=4000+6000\times 0,95^n.$$
   d. Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ? Justifier la réponse.
4. En 2020, une espèce animale comptait $10000$ individus. L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de $5\%$ chaque début d'année.
   Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
   Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : « l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ».
   Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, $7\%$ des habitants sont infectés par cette maladie.
Parmi les individus infectés, $20\%$ sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, $1\%$ sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :

• $M$ l'évènement : « la personne est infectée par la maladie » ;
• $T$ l'évènement : « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2. a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?
   b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
3. On sait que le test de la personne choisie est positif.
   Quelle est la probabilité qu'elle soit infectée ?
   On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
4. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d'individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
   a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
   b. Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif.
   On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
5. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à $99\%$.

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur égale à $1$.
On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.
On considère le point $M$ tel que $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BH}$.

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B,D,E,G$ et $H$.
2. a. Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.
   b. On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\frac{\sqrt{3}}{4}{c}^2$.
   Montrer que l'aire du triangle $EGD$ est égale à $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Démontrer que les coordonnées de $M$ sont $(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$.
4. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}(-1;1;1)$ est normal au plan $(EGD)$.
   b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est : $-x+y+z-1=0$.
   c. Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$.
   Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est :
   $\mathcal{D}:\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}-t\\ y=\frac{1}{3}+t\\ z=\frac{1}{3}+t\end{array},t\in \mathbb{R}$.
5. Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure :
   Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.
   a. Soit $K$, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$.
   Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$.
   b. En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.
   On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V=\frac{b\times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.