Bac 2024 Physique-chimie : sujet et corrigé

Le basket-ball est le deuxième sport collectif pratiqué en France, et le premier dans les catégories féminines (source : SIMM-Consojunior 2011). Il figure parmi les sports olympiques lors des Jeux Olympiques de Paris 2024.

Dans cet exercice on étudie trois aspects fondamentaux de ce sport : l’optimisation de la trajectoire d’un tir, le rebond du ballon lors des dribbles ainsi que la problématique des risques auditifs liés aux coups de sifflet des arbitres.

Données :

• masse du ballon : $m=600\text{ g}$ ;
• rayon du ballon : $R_b=12\text{ cm}$ ;
• valeur du champ de pesanteur supposé uniforme : $g=9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ ;
• rayon de l’arceau du panier : $R_a=22,5\text{ cm}$ ;
• hauteur de l’arceau du panier, par rapport au sol : $H_a=3,05\text{ m}$.

1. Étude d’une trajectoire idéale

Il est légitime pour un joueur de basket-ball de se demander comment obtenir la trajectoire la plus efficace pour marquer un panier. Un site internet spécialisé dans le basket-ball donne le conseil suivant :
« privilégier un angle de tir entre $47^{\circ }$ et $55^{\circ }$ par rapport à l’horizontale. On préconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale de la surface du panier » (source : BasketSession.com)

Première modélisation
Dans un premier temps, on s’intéresse au mouvement du centre de masse $M$ d’un ballon lorsqu’un joueur réalise un lancer-franc. On réalise l’étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu’une fois lancé, le ballon n’est soumis qu’à son propre poids. On néglige donc toute force de frottement de l’air sur le ballon.

Quand le ballon quitte la main du joueur, son centre de masse $M$ est situé à une hauteur $H_m=2,30\text{ m}$ par rapport au sol et à une distance horizontale $L=4,6\text{ m}$ du centre $C$ de l’arceau du panier (figure 1).
On étudie le mouvement dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1 : le plan $(Oxy)$ est un plan vertical contenant la main du basketteur au moment où il lâche le ballon et le centre $C$ de l’arceau. L’instant initial est l’instant où le ballon quitte la main, avec un vecteur vitesse initial ${\vec{v}}_0$ qui forme un angle $\alpha$ avec l’axe horizontal. L’angle $\alpha$ est supposé différent de $90^{\circ }$.

Q1. Montrer que dans le plan $(Oxy)$, les coordonnées du vecteur accélération $\vec{a}(t)$ du centre de masse $M$ du ballon peuvent s’écrire :
$$\vec{a}(t)\left(\begin{array}{c}{a}_x(t)=0\\ a_y(t)=-g\end{array}\right)$$

Q2. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ du point $M$ à chaque instant, notées :
$$\vec{v}(t)\left(\begin{array}{c}{v}_x(t)\\ v_y(t)\end{array}\right)$$

Q3. Exprimer les coordonnées du vecteur position $\overrightarrow{OM}(t)$ au cours du temps, notées :
$$\overrightarrow{OM}(t)\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$$

Q4. Montrer que l’équation de la trajectoire du centre de masse $M$ du ballon peut s’écrire :
$$y(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot {\cos }^2(\alpha )}\cdot x^2+x\cdot \tan (\alpha )+H_m$$

Un tir est considéré comme parfait lorsque le centre de masse $M$ du ballon passe par le centre $C$ de l’arceau du panier, le ballon ne touchant pas le bord de l’arceau.

Q5. Montrer que pour un angle initial $\alpha$ et pour une distance $L$ donnés, il existe une vitesse initiale $v_{0c}$ pour laquelle la trajectoire du centre de masse du ballon passe par le centre du panier, dont l’expression est :
$$v_{0c}=\sqrt{\frac{g\cdot L^2}{2\cdot {\cos }^2(\alpha )\cdot (L\cdot \tan (\alpha )+H_m-H_a)}}$$

Q6. Lors d’un lancer-franc, on montre (démonstration non demandée) qu’un tir avec un angle initial de $49,5^{\circ }$ permet d’obtenir la vitesse initiale $v_{0c}$ la plus faible possible. Calculer cette vitesse.

On souhaite comparer cette vitesse à celle qu’un joueur situé à une distance $L=2\text{ m}$ du panier doit communiquer au ballon. On trace sur les figures 2-a et 2-b la vitesse initiale à donner au ballon pour qu’il passe par le centre $C$ de l’arceau du panier en fonction de l’angle initial $\alpha$, pour la distance $L=2\text{ m}$.

Q7. Déterminer graphiquement l’angle initial à choisir pour communiquer au ballon la vitesse initiale minimale lui permettant de passer par le centre $C$ de l’arceau, si le joueur est placé à la distance $L=2\text{ m}$. Comparer les valeurs de l’angle et de la vitesse ainsi trouvées à celles obtenues pour un lancer-franc. Commenter.

Q8. On distingue sur la figure 2-a deux asymptotes verticales. Expliquer pourquoi lorsque l’angle de tir initial se rapproche de $90^{\circ }$, la courbe de la vitesse en fonction de l’angle initial tend vers une asymptote.

Deuxième modélisation
Jusqu’à présent, la vitesse à communiquer au ballon a été déterminée à partir d’une seule condition : le centre de masse $M$ du ballon doit passer par le centre $C$ de l’arceau. Il apparaît nécessaire de prendre en compte deux conditions supplémentaires :

• condition 1 : un ballon qui ne passe pas par le dessus du panier n’est pas valide ;
• condition 2 : un ballon qui rebondit sur le bord du panier avant d’en atteindre le centre ne donne pas un tir parfait.

On souhaite s’appuyer sur un programme rédigé en langage Python pour déterminer les trajectoires qui vérifient ces deux conditions.
La figure 3 présente un extrait du code qui permet de vérifier que le ballon rentre bien dans l’arceau, dans le bon sens et sans le toucher.

80 ############################ Vérifications ############################
81 # Le ballon passe-t-il au dessus ?
82 if ________:
83     print("Le ballon ne passe pas au dessus de l'arceau !")
84
85 #Le ballon touche-t-il l'arceau avant de rentrer ?
86 def d_bord(x,y):
87     return np.sqrt((L-Ra-x)**2+(Ha-y)**2) #Distance entre le centre du ballon et le bord de l'arceau
88
89 test=False
90 for i in range(nx): #nx est le nombre de points dans la trajectoire
91     if d_bord(x[i],y[i])<Rb: #Rb rayon du ballon
92         test=True
93 if test:
94     print("Le ballon touche l'arceau")
95 else:
96     print("Le ballon ne touche pas l'arceau")

Q9. Parmi les propositions ci-dessous, choisir et recopier sur la copie le code qu’il convient d’écrire pour compléter la ligne 82, afin qu’elle permette de vérifier la condition « le ballon ne passe pas au-dessus de l’arceau ». Les variables du programme, notées $H_a$ et $L$, représentent respectivement les paramètres $H_a$ et $L$.

• max(x) > L
• max(y) < Ha
• min(y) > L
• max(x) < Ha

Les fonctions max(x) et min(x) renvoient respectivement la plus grande et la plus petite valeur du tableau $x$.

Q10. Justifier que les lignes 89 à 92 permettent de tester la condition 2.

Q11. L’application des deux nouvelles conditions permet de déterminer que l’angle initial minimal pour réaliser un tir parfait au lancer-franc est voisin de $45^{\circ }$. Commenter cette valeur au regard des conseils fournis par le site internet cité en début d’exercice.

2. Étude du dribble et du rebond du ballon

Au basket-ball, il est interdit de se déplacer en portant la balle sur plus de trois pas. Il faut donc la faire rebondir sur le sol (c’est le dribble). Il est donc important d’étudier les caractéristiques de ce rebond.
À cette fin, on réalise le protocole suivant :

• un ballon est lâché, sans vitesse initiale, d’une hauteur voisine d’un mètre ;
• il tombe, rebondit sur le sol dur et remonte ;
• le pointage du centre de masse $M$ du ballon est réalisé à l’aide d’une chronophotographie. Ces données permettent d’obtenir les représentations graphiques de l’évolution des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique du ballon au cours du temps (figure 4).

Q12. Parmi les courbes 1, 2 et 3 de la figure 4, identifier celles qui représentent l’évolution de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle de pesanteur et de l’énergie mécanique. Justifier chacune de ces identifications.

Q13. Montrer que l’énergie perdue par le ballon lors du rebond est voisine de $2,5\text{ J}$.

Q14. Indiquer, en justifiant, s’il est raisonnable dans cette étude de négliger les frottements en dehors du moment où le ballon rebondit.

Q15. Lorsqu’on dribble, on ne lâche pas le ballon mais on le pousse vers le bas assez fort pour qu’il remonte suffisamment haut pour continuer à dribbler. Déterminer la vitesse initiale minimale à communiquer à un ballon lancé d’une hauteur d’un mètre pour qu’il remonte au moins à cette même hauteur.
On admet que la perte énergétique lors du rebond est la même qu’à la question Q13.

3. Entendre l’arbitre lors d’un match

Le basket-ball est un sport dans lequel le public peut se manifester bruyamment à n’importe quel moment. Pour autant, l’arbitre, qui signale les fautes grâce à un sifflet, doit pouvoir être entendu par tous les joueurs.
On admet que l’on peut distinguer un son très bref et aigu du bruit ambiant si son niveau sonore est supérieur d’au moins $3\text{ dB}$ à celui du bruit ambiant.

On rappelle que :

• le niveau d’intensité sonore noté $L_{son}$ s’exprime en $dB$ et est lié à l’intensité sonore $I$ au point considéré par : $L_{son}=10\cdot \log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ où $I_0=1\times 10^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$ est conventionnellement la plus faible intensité sonore détectable par l’oreille humaine ;
• si une source sonore ponctuelle de puissance sonore $P$ est placée dans un milieu sans obstacle et non absorbant, alors l’intensité sonore à une distance $d$ de la source s’exprime par : $I=\frac{P}{4\cdot \pi \cdot d^2}$

Q16. On suppose que l’arbitre siffle au moment où est commise une faute. À cet instant, il est à une distance $d_1=20\text{ m}$ du joueur le plus éloigné sur le terrain et à une distance $d_2=1,0\text{ m}$ d’un joueur remplaçant assis sur un banc au bord du terrain. À l’aide d’un calcul, déterminer si le joueur remplaçant doit porter des protections auditives, sachant que le bruit ambiant est de l’ordre de $80\text{ dB}$.

Le tricholoma matsutake communément appelé matsutake, ou champignon des pins, est un champignon rare et savoureux. Une des espèces chimiques responsable de ses propriétés aromatiques et gustatives est le cinnamate de méthyle dont la formule topologique est donnée.

La rareté et le coût élevé du champignon matsutake incitent l’industrie agro-alimentaire à synthétiser le cinnamate de méthyle. On se propose dans cet exercice d’étudier une synthèse de laboratoire de cet arôme.

Données :

• Tableau comparatif des propriétés physico-chimiques de trois solvants :

• couples acide / base : $C{O}_2(aq)/HC{O}_3^{-}(aq)$ et $H_3{O}^{+}(aq)/H_{2}O(\ell )$ ;
• masses molaires :
  • Chlorure de cinnamoyle : $166,6\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
  • Méthanol : $32,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
  • Cinnamate de méthyle : $162,2\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
• masse volumique du méthanol : $\rho =0,792\text{ g}\cdot {\text{mL}}^{-1}$.

1. Étude des réactifs de la synthèse du cinnamate de méthyle

Le cinnamate de méthyle peut être synthétisé à partir du méthanol et de l’acide cinnamique, appelé acide 3-phénylprop-2-énoïque en nomenclature systématique.

Q1. Nommer la famille fonctionnelle à laquelle appartient l’acide cinnamique. Justifier.

Q2. En déduire, parmi les trois composés A, B et C dont les formules topologiques sont données, celui qui correspond à l’acide cinnamique. Justifier.

2. Synthèse du cinnamate de méthyle à partir du chlorure de cinnamoyle

Dans les conditions expérimentales choisies, la réaction de synthèse à partir de l’acide cinnamique et du méthanol se produit avec un rendement de l’ordre de $40\%$. On préfère alors faire réagir le méthanol avec le chlorure de cinnamoyle. La transformation chimique est supposée totale :
Chlorure de cinnamoyle + méthanol $\to$ cinnamate de méthyle + chlorure d’hydrogène ($HCl$)

Q3. Parmi les catégories suivantes, identifier celle à laquelle appartient cette transformation : oxydoréduction, acide-base, addition, élimination, substitution.

Le protocole de la synthèse peut se présenter en deux étapes.

• Étape 1 : formation du cinnamate de méthyle
  • verser $5\text{ mL}$ de dichlorométhane dans un ballon de $100\text{ mL}$ contenant $8,3\text{ g}$ de chlorure de cinnamoyle ;
  • une fois le chlorure de cinnamoyle totalement dissous, ajouter $4,0\text{ mL}$ de méthanol ;
  • chauffer à reflux pendant $10\text{ min}$.
• Étape 2 : isolement du produit de synthèse
  • une fois refroidi, laver le mélange réactionnel avec une solution aqueuse d’hydrogénocarbonate de sodium ($N{a}^{+}(aq);HC{O}_3^{-}(aq)$) de concentration $0,50\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ jusqu’à ce que le milieu ne soit plus acide ;
  • sécher la phase organique, puis filtrer ;
  • évaporer le dichlorométhane, puis récupérer le produit solide synthétisé.

Q4. Indiquer, en les justifiant, les consignes de sécurité qu’il est nécessaire de prendre lors de la mise en œuvre de ce protocole.

Q5. Justifier l’utilisation du dichlorométhane comme solvant lors de l’étape 1 de la synthèse.

Dans l’étape 2, le chlorure d’hydrogène $HCl$ réagit totalement avec l’eau pour former des ions $H_3{O}^{+}$ et $C{l}^{-}$. Les ions $H_3{O}^{+}$ formés réagissent avec les ions hydrogénocarbonate. On observe une effervescence.

Q6. Écrire l’équation de la réaction ayant lieu entre les ions $H_3{O}^{+}$ et les ions hydrogénocarbonate $HC{O}_3^{-}$. Justifier l’observation d’une effervescence.

Q7. Déterminer le volume minimal de solution aqueuse d’hydrogénocarbonate de sodium nécessaire à la disparition complète des ions $H_3{O}^{+}$ produit par le chlorure d’hydrogène $HCl$, en supposant la synthèse totale.

Q8. La masse du produit solide obtenu expérimentalement vaut $m=6,2\text{ g}$. Estimer le rendement de la synthèse en supposant que le produit obtenu est pur. Commenter.

Les appareils électroniques nomades reposent sur l’utilisation de batteries. Les téléphones portables sont actuellement équipés de batteries lithium – ion mais des recherches sont menées pour développer des batteries lithium – soufre.

Données :

• numéro atomique du lithium : $Z=3$ ;
• couples oxydant/réducteur : $L{i}^{+}/Li$ et $S/S^{2-}$ ;
• volume molaire de gaz à $20^{\circ }C$ et à pression atmosphérique : $V_m=24,4\text{ L}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;
• masses molaires atomiques : $M(S)=32,1\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $M(Li)=6,9\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;
• charge par mole d’électrons : $F=96500\text{ C}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;
• les ions lithium ($L{i}^{+}$) et les ions sulfure ($S^{2-}$) réagissent pour donner un précipité de sulfure de lithium très peu soluble en milieu organique ;
• la relation entre la capacité $Q$, l’intensité du courant $I$ et la durée d’utilisation $\Delta t$ est : $Q=I\times \Delta t$ ;
• $1\text{ mAh}=3,6\text{ C}$.

1. Le lithium

Le lithium réagit spontanément avec l’eau :
$2\text{ Li (s)}+2{\text{ H}}_2\text{O (l)}\to 2{\text{ Li}}^{+}\text{ (aq)}+2{\text{ HO}}^{-}\text{ (aq)}+{\text{H}}_2\text{ (g)}$

La batterie d’un téléphone portable contient en moyenne une masse $m=0,5\text{ g}$ de lithium.

Q1. Justifier que le lithium se comporte comme un réducteur dans cette transformation.

Q2. Déterminer le volume de dihydrogène formé, à $20^{\circ }C$ et à pression atmosphérique, si une masse $m=0,5\text{ g}$ de lithium réagit totalement avec l’eau. Justifier l’utilisation d’un électrolyte organique anhydre dans une telle batterie.

2. La batterie lithium – soufre

On donne, sur la figure 1 de L’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, le schéma simplifié de la batterie lithium – soufre quand elle se décharge.

Q3. Écrire les demi-équations modélisant les réactions électrochimiques qui se déroulent alors à chaque électrode en tenant compte de la polarité de la pile.

Q4. Sur le schéma de la figure 1 de L’ANNEXE, indiquer :

• le sens du courant électrique ;
• le sens de déplacement des électrons dans les fils électriques ;
• le sens de déplacement des ions formés dans l’électrolyte.

Q5. Écrire l’équation de fonctionnement de la pile en tenant compte de la formation d’un précipité dans la pile.

Une batterie lithium – ion de smartphone, de capacité $Q=3500\text{ mAh}$, débite un courant $I=0,55\text{ A}$. La capacité massique moyenne d’une batterie lithium – ion est $Q_{massique}=300\text{ mAh}\cdot {\text{g}}^{-1}$.

Q6. Déterminer la durée d’utilisation de la batterie lithium – ion dans ces conditions.

Q7. Vérifier qu’une batterie lithium – ion neuve contient environ $12\text{ g}$ de matière active. En déduire la durée d’utilisation ramenée à un gramme de matière active.

Q8. Déterminer la capacité massique par gramme de soufre actif de la batterie lithium – soufre, exprimée en $mAh\cdot g^{-1}$. En déduire sa durée d’utilisation par gramme de soufre actif si elle débite un courant $I=0,55\text{ A}$. Commenter.