Bac 2025 Mathématiques : sujet et corrigé

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1.
Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.
Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1).
La transmission est fidèle dans 90% des cas, et donc contraire dans 10% des cas.
Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on note :

• $V_n$ l'événement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 » ;
• $\overline{V_n}$ l'événement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».

1. a. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

(L'arbre part de $V_1$ vers $V_2$ et $\overline{V_2}$, puis de chacun vers $V_3$ et $\overline{V_3}$)

b. Démontrer que $P(V_3)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
c. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.

2. Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on note $p_n=P(V_n)$.
   La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1=1$.
   a. Démontrer que pour tout entier naturel $n\ge 1$ :
   $p_{n+1}=0,8p_n+0,1$.
   b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\ge 1$,
   $p_n=0,5\times 0,8^{n-1}+0,5$.
   c. Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.
On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.
On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0,1[$.

1   def simulation(n):
2       donnee = 1
3       liste = [donnee]
4       for k in range(n):
5           if rand() < 0.1 :
6               donnee = 1 - donnee
7           liste.append(donnee)
9       return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1, 0, 0, 1]. Cette liste traduit :

• qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ;
• la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
• la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
• la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1, 1, 1, 1, 1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1].

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2;+\infty [$ par $f(x)=x\ln (x-2)$.
Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
2. Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]2;+\infty [$.
3. Calculer ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}f(x)$. Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?
4. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2;+\infty [$ :
   $$f^{\prime }(x)=\ln (x-2)+\frac{x}{x-2}.$$
5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2;+\infty [$ par $g(x)=f^{\prime }(x)$.
   a. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2;+\infty [$, on a :
   $$g^{\prime }(x)=\frac{x-4}{(x-2{)}^2}.$$
   b. On admet que ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}g(x)=+\infty$ et que ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$.
   En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2;+\infty [$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.
   c. En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2;+\infty [$, $g(x)>0$.
   d. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2;+\infty [$.
6. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2;+\infty [$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
On considère les points suivants :
$A(1;3;0)$, $B(-1;4;5)$, $C(0;1;0)$ et $D(-2;2;1)$.

1. Montrer que les points $A,B$ et $C$ déterminent un plan.
2. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
3. Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.
   a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
   b. Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne :
   $2x-y+z+1=0$.
   c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
4. On appelle $H$ le point de coordonnées $(-\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3})$.
   Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\frac{1}{3}B\times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
   a. Montrer que $DH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
   b. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :
   $$\{\begin{array}{l}x=1-2k\\ y=-3k\\ z=1+k\end{array},\text{ ouˋ }k\text{ deˊcrit }\mathbb{R}.$$
   La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ et $F=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
   Affirmation n°1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.

2. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré $ABCD$ de côté 3.
   Affirmation n°2 : La zone hachurée et le carré $ABCD$ ont la même aire.

3. On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :
   $$J={\int }_1^{2}x\ln (x)dx.$$
   Affirmation n°3 : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J=\frac{7}{11}$.

4. Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle $(E):y^{\prime }=2y-e^x$.
   Affirmation n°4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x+e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

5. Soit $x$ donné dans $[0,1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
   $$u_n=(x-1)e^n+\cos (n).$$
   Affirmation n°5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.