Bac 2021 Physique-chimie : sujet et corrigé

Le 12 août 2018, la NASA, l’agence spatiale américaine, a lancé en direction du Soleil une sonde spatiale, PSP (Parker Solar Probe), dont la mission est d’étudier la couronne solaire.
La sonde PSP doit relever de nombreux défis, notamment :

• atteindre une orbite permettant d’approcher le Soleil de très près ;
• protéger les instruments de mesure des rayonnements intenses.

Données :

• Masse du Soleil $M_S=2,0\times 10^{30}\text{ kg}$
• Constante gravitationnelle $G=6,67\times 10^{-11}{\text{ m}}^3\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Partie 1 - Les caractéristiques orbitales de la sonde

Depuis son lancement le 12 août 2018, la sonde PSP subit des modifications successives de son orbite autour du Soleil du fait de l’assistance gravitationnelle de la planète Vénus. Elle rejoint ainsi progressivement son orbite optimale qui lui permettra de passer au plus près du Soleil début 2025. La sonde effectuera alors quatre passages au périhélie P et pourra enregistrer un maximum de données expérimentales (figure 2 et figure 7 en annexe p. 16/16).

1. Sur la figure 7 EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE page 16 / 16, on a représenté l’orbite elliptique que la sonde PSP décrira autour du Soleil en 2025. Les points A et P sont respectivement l’aphélie et le périhélie. Le point S représente le centre du Soleil.
   1.1. Représenter sur la figure 7 et sans souci d’échelle, la force d’attraction gravitationnelle, notée ${\vec{F}}_{S\to PSP}$, modélisant l’action exercée par le Soleil sur la sonde PSP lorsqu’elle est au point M.
   1.2. En utilisant la $2^{\text{eˋme}}$ loi de Kepler, comparer la valeur $v_P$ de la vitesse de la sonde au point P à la valeur $v_A$ de la vitesse de la sonde au point A.

2. La NASA prévoit que la valeur $v_P$ de la vitesse de la sonde au point P sera de $192\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$ avec une incertitude-type de l’ordre de $5\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$.
   On souhaite savoir si cette valeur de la vitesse a été déterminée à l’aide du modèle du mouvement circulaire pour la sonde PSP sur son orbite autour du soleil ou si un autre modèle a été utilisé.
   On se propose donc de déterminer la valeur $v$ de la vitesse de la sonde PSP en supposant que son mouvement est circulaire, de rayon $r=SP=6,9\times 10^6\text{ km}$, afin de la comparer à celle prévue par la NASA (figure 3). Le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen.
   2.1. À l’aide de la $2^{\text{e}}$ loi de Newton, montrer que, dans le cas d’une trajectoire circulaire, la vitesse $v$ de la sonde PSP est constante et a pour expression : $v=\sqrt{\frac{G\times M_S}{r}}$ avec $M_S$ la masse du Soleil et $r$ le rayon de la trajectoire circulaire.
   2.2. Calculer la valeur $v$ de la vitesse de la sonde PSP dans le cadre de ce modèle.
   2.3. Apporter une conclusion à la problématique posée dans cette question 2.

3. En utilisant la $3^{\text{eˋme}}$ loi de Kepler et après analyse du programme Python figurant ci-après et de ses résultats, déterminer la période de révolution $T$ de la sonde PSP autour du Soleil.

Caractéristiques des orbites des planètes et de la sonde PSP autour du soleil

Programme Python :

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# Périodes T (en j)
T = np.array([ 87.95565, 224.667, 365.256363, 686.885, 4332.01, 10754, 30698, 60216.8 ])

# Demi-grands axes a (en km)
a = np.array([ 57909230, 108209500, 149597887.5, 227944000, 778340000, 1426700000, 2870700000, 4498400000 ])

# sm.OLS(y, x) définit un modèle linéaire de la forme y = kx
model = sm.OLS(T**2, a**3)

# model.fit() calcule le coefficient k
results = model.fit()

print("--- Résultats de la modélisation ---\n")

# Affiche la valeur du coefficient k
print(" k=", results.params[0], (" j**2 * km**-3"))

Affichage des résultats :
--- Résultats de la modélisation ---
k= 3.983462498345611e-20 j**2 * km**-3
Remarque : la notation e-20 signifie $10^{-20}$.

Partie 2 - Les panneaux photovoltaïques

Durant la mission, les panneaux photovoltaïques de la sonde PSP servent à fournir l’énergie électrique nécessaire au fonctionnement des instruments de mesure embarqués. Ils permettent d’obtenir une puissance électrique utile $P_{el}=340\text{ W}$.
En 2025, au plus près du Soleil, ils devront être refroidis. Une puissance thermique $P_{th}$ devra alors être évacuée grâce à de l’eau sous pression circulant entre les panneaux photovoltaïques et des radiateurs (figure 4). Lorsque le bouclier sera parfaitement orienté vers le Soleil, la puissance thermique à évacuer $P_{th}$ sera 13 fois supérieure à la puissance électrique utile ; une erreur d’inclinaison du bouclier thermique de 1° entrainera une puissance thermique supplémentaire à dissiper de 35%.
Dans les questions suivantes, on se place dans le cas critique d’une erreur de 1° d’inclinaison du bouclier thermique.

Données :

• Masse volumique de l’eau liquide : ${\rho }_{eau}=0,958\text{ kg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
• Durée du passage à proximité du Soleil : $\Delta t=110\text{ h}$
• Pression de l’eau dans le circuit : 5 bar
• Température d’ébullition de l’eau sous 5,0 bar : $T_{\acute{e}b}=150^{\circ }\text{C}$
• Capacité thermique massique de l’eau : $c_{eau}=4185\text{ J}\cdot {\text{K}}^{-1}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

4. Sachant que les radiateurs peuvent dissiper une puissance maximale $P_{d,max}=6000\text{ W}$, montrer que ces radiateurs peuvent effectivement dissiper la puissance thermique cédée par les panneaux photovoltaïques à l’eau sous pression.

Pendant la durée $\Delta t$ du passage à proximité du Soleil, l’équivalent d’un volume d’eau $V_{eau}=7570\text{ L}$ va circuler pour refroidir les panneaux solaires. La température de ce volume d’eau va passer de la valeur $T_{min}=50^{\circ }\text{C}$ à une valeur maximale $T_{max}$ que l’on cherche à déterminer. On considère ici que la puissance thermique reçue par ce volume d’eau est $P_{th,max}=6000\text{ W}$.

5. Donner l’expression de l’énergie thermique $Q_R$ reçue par l’eau en fonction de $P_{th,max}$ et $\Delta t$.
6. En supposant que l’élévation de température du volume total d’eau est uniquement due aux panneaux solaires, déterminer la température $T_{max}$ atteinte et déterminer si le système de refroidissement risque ou non l’explosion.

Partie 3 - Le bouclier thermique

La sonde PSP est protégée des rayonnements solaires par un bouclier thermique de surface $S_b$ et d’épaisseur $e$ (figures 1 et 5).
Soumis à l’intense rayonnement du Soleil, la température à l’avant du bouclier atteint une valeur $T_{av}=1700\text{ K}$ et rayonne un flux thermique surfacique important ${\varphi }_{av}$. Par ailleurs, un flux thermique surfacique ${\varphi }_{ar}=1,55\text{ kW}\cdot {\text{m}}^{-2}$ traverse la surface $S_b$ du bouclier vers l’arrière (figure 6).

Données :

• Conductivités thermiques : Mousse de carbone ($0,0262\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$), Alumine ($37\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$), Métaux ($20$ à $400\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$), PVC ($0,17\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$).
• Caractéristiques du bouclier : $S_b=16,6{\text{ m}}^2$ ; $e=11,4\text{ cm}$ ; $\lambda =0,140\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$.
• Résistance thermique : $R_{th}=\frac{e}{\lambda \times S}$ (en $\text{K}\cdot {\text{W}}^{-1}$).
• Flux thermique : $\Phi =\frac{|\Delta T|}{R_{th}}$.

7. Caractériser le mode de transfert thermique entre le Soleil et la sonde PSP.
8. Justifier l’utilisation de la mousse de carbone à l’intérieur du bouclier thermique.
9. Déterminer la valeur du flux thermique total vers l’arrière $\Phi$.
10. À l’aide des caractéristiques du bouclier thermique et des données, déterminer l’écart de température $|\Delta T|$ entre les deux faces du bouclier thermique ainsi que la température $T_{ar}$ à l’arrière du bouclier. Commenter.

Le varroa (destructor) est un acarien qui parasite les abeilles. L’utilisation d’un diffuseur contenant une solution d’acide méthanoïque permet de l’éradiquer.
Cet exercice porte sur l’étude de quelques propriétés de l’acide méthanoïque, puis sur la détermination de sa concentration dans une solution commerciale (indiquée à $65,0\text{ g}$ pour $100\text{ mL}$).

Données :

• Masse molaire de l’acide méthanoïque : $M=46,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.
• $p{K}_A$ du couple acide méthanoïque / ion méthanoate : $3,8$ à $25^{\circ }\text{C}$.
• Extrait de table de spectroscopie infrarouge :

Propriétés de l’acide méthanoïque

1. Citer la définition d’un acide selon la théorie de Brönsted et donner les noms de deux acides usuels.
2. Donner la formule de l’ion méthanoate, base conjuguée de l’acide méthanoïque.
3. Représenter le diagramme de prédominance de l’acide méthanoïque et de sa base conjuguée. Justifier.
4. Parmi les trois spectres infrarouge A, B et C ci-après, identifier celui pouvant être attribué à l’acide méthanoïque. Justifier la réponse.

Titrage de l’acide méthanoïque contenu dans la solution commerciale
Protocole :

• Diluer 1 000 fois la solution commerciale.
• Prélever $V_a=20,0\text{ mL}$ de la solution diluée $S_a$ de concentration $C_0$.
• Titrer par une solution d’hydroxyde de sodium ($N{a}^{+}(aq)+H{O}^{-}(aq)$) de concentration $C_b=2,00\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
• Suivi par pH-métrie.

5. Faire un schéma légendé du dispositif expérimental utilisé pour réaliser le titrage.
6. Écrire, en la justifiant, l’équation de la réaction support du titrage.
7. Montrer que la concentration d'acide méthanoïque de la solution diluée déterminée expérimentalement est égale à $C_0=15,0\times 10^{-3}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ (en utilisant la figure 1).

Incertitudes :
$u(C_b)=0,02\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ ; $u(V_a)=0,2\text{ mL}$ ; $u(V_{eq})=0,5\text{ mL}$.
L’incertitude-type $u(C_0)$ est donnée par : $u(C_0)=C_0\sqrt{{\left(\frac{u(C_b)}{C_b}\right)}^2+{\left(\frac{u(V_a)}{V_a}\right)}^2+{\left(\frac{u(V_{eq})}{V_{eq}}\right)}^2}$

8. Écrire le résultat de la mesure de la concentration expérimentale $C$ de la solution commerciale assortie de son incertitude, sachant que $\frac{u(C)}{C}=\frac{u(C_0)}{C_0}$.
9. Confronter la concentration $C$ obtenue expérimentalement à la concentration indiquée par le fabriquant $C_{fab}$ en calculant le quotient $\frac{|C-C_{fab}|}{u(C)}$. Conclure.

Le but de cet exercice est d’étudier la synthèse d’un « biocarburant », l’ester méthylique de colza, modélisée par :
$C_{57}{H}_{98}{O}_6+3C{H}_{3}OH\to 3C_{19}{H}_{34}{O}_2+C_3{H}_8{O}_3$

Données à 25°C :

• Masses molaires atomiques : $M(C)=12,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $M(H)=1,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $M(O)=16,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.
• Masses molaires moléculaires : $M(\text{meˊthanol})=32,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $M(\text{huile de colza})=878\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.
• Masse volumique du produit synthétisé $C_{19}{H}_{34}{O}_2$ : $\rho =0,880\text{ g}\cdot {\text{mL}}^{-1}$.

L’ester méthylique de colza

1. Après avoir recopié la formule semi-développée de l’ester méthylique de colza, entourer le groupe caractéristique présent dans la molécule.
2. Déterminer la masse molaire moléculaire de l’ester méthylique de colza.

Analyse du protocole de synthèse
3. Identifier, dans le protocole, les conditions opératoires destinées à augmenter la vitesse de synthèse.
4. Identifier les étapes correspondant à la transformation des réactifs et à la séparation du produit.

Analyse du produit formé
Le produit synthétisé a une masse $m=72,9\pm 0,1\text{ g}$ et un volume $V=82,0\pm 0,1\text{ mL}$.
L’incertitude-type $u(\rho )$ est donnée par : ${\left(\frac{u(\rho )}{\rho }\right)}^2={\left(\frac{u(m)}{m}\right)}^2+{\left(\frac{u(V)}{V}\right)}^2$
5. Déterminer la valeur de la masse volumique du produit obtenu.
6. Écrire le résultat avec son incertitude associée.
7. Comparer au résultat de référence en utilisant le quotient $\frac{|\rho -{\rho }_{ref}|}{u(\rho )}$.

Rendement de la synthèse
9. Montrer que le méthanol est le réactif introduit en excès (pour $m_1=100,0\text{ g}$ d'huile et $m_2=25,0\text{ g}$ de méthanol) et déterminer la masse maximale d’ester pouvant être théoriquement obtenue.
10. Définir, puis calculer le rendement de cette synthèse.

L’eau oxygénée doit avoir un pourcentage en masse de peroxyde d’hydrogène au moins égale à 3,0 % pour fabriquer une solution hydroalcoolique. Le peroxyde d’hydrogène $H_2{O}_2$ est instable et se décompose. L’objectif est de déterminer si une bouteille stockée est encore utilisable.

Document 1. Titrage de l’eau oxygénée
Équation support : $2Mn{O}_4^{-}(aq)+5H_2{O}_2(aq)+6H^{+}(aq)\to 2M{n}^{2+}(aq)+5O_2(g)+8H_{2}O(\ell )$
Protocole :
(a) Dilution : prélever $V=5,0\text{ mL}$ de solution $S$, verser dans une fiole de $V_f=100,0\text{ mL}$. Soit $S^{\prime }$ la solution obtenue.
(b) Prélever $V_1=10,0\text{ mL}$ de $S^{\prime }$.
(d) Titrage par $KMn{O}_4$ de concentration $C_2=2,0\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
Résultat : $V_E=8,9\text{ mL}$.

Données à 25 °C :

• Masse volumique d’une solution à 3,0 % : $960\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
• Masse molaire de $H_2{O}_2$ : $M(H_2{O}_2)=34,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

Questions préliminaires

1. En analysant les tracés du Document 2 (conditions A, B, C), préciser les facteurs d’influence de la conservation et les conditions optimales.
2. Vérifier que la concentration molaire minimale en peroxyde d’hydrogène requise est de $0,85\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
3. Déterminer la concentration en peroxyde d’hydrogène dans la solution contenue dans la bouteille de l’armoire à pharmacie à l'aide du titrage.

Réponse à la problématique
4. La bouteille est conservée à température ambiante et à l’abri de la lumière (Condition B). Montrer qu’il reste moins de dix jours pour utiliser cette solution pour préparer une solution hydroalcoolique.