Bac 2021 Physique-chimie : sujet et corrigé

APPRENTISSAGE DU SAUT EN PARACHUTE

Au cours de l’une des étapes de sa formation, un élève parachutiste doit apprendre à évaluer par lui-même la durée au bout de laquelle il doit actionner la commande de l’ouverture de son parachute, quelques secondes après avoir sauté de l’avion. En cas d’urgence, un parachute de secours se déclenche automatiquement. Mais avant de sauter, l’élève et son moniteur doivent pouvoir s’entendre parler dans l’avion !

Données :

• Masse de l’élève parachutiste et de son équipement : $m=75,0\text{ kg}$.
• Intensité du champ de pesanteur $g=9,81\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$.

Partie 1 – Communication dans l’environnement bruyant de l’avion

Dans l’avion qui emmène le moniteur et son élève à l’altitude souhaitée, le niveau d’intensité sonore est $L_1=82\text{ dB}$. On estime que, dans le cas de deux émissions sonores simultanées, il faut que les niveaux d’intensité sonore soient séparés de $8\text{ dB}$ au minimum pour que le son le plus faible n’empêche pas d’entendre clairement le son le plus fort.

Données :
Le niveau d’intensité sonore $L$ (dB) et l’intensité sonore $I$ sont liés par la relation :
$L=10\log \frac{I}{I_0}$ avec $I_0=1,0\times 10^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$, seuil d’audibilité ;
On estime qu’il est nécessaire de crier pour produire un son d’intensité sonore égale ou supérieure à $I_c=1,0\times 10^{-3}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$.

1. Préciser le niveau d’intensité sonore minimal $L_2$ que doit avoir la conversation entre le moniteur et son élève pour qu’ils puissent s’entendre clairement en dépit du bruit de l’avion.
2. Indiquer, en justifiant, si la gêne occasionnée par le bruit de l’avion impose ou non au moniteur et à son élève de crier.

Compte tenu du niveau d’intensité sonore dans l’avion, les pilotes utilisent des casques d’aviation ANR (pour Active Noise Reduction ou Réduction Active de Bruit). Le fonctionnement de ces casques repose sur une technologie électronique qui permet de capter les bruits extérieurs via un microphone et d'émettre un signal qui vient se superposer au bruit de l’avion de façon à le réduire.

3. Nommer le phénomène physique exploité par la technologie ANR.
4. Représenter sur le document 1 en annexe page 16 / 16 à rendre avec la copie, l’allure du signal que doit produire la deuxième enceinte pour « supprimer » le son modélisant le bruit de l’avion.

Partie 2 – Détermination expérimentale de l’altitude au moment de l’ouverture du parachute

L’élève parachutiste et son moniteur quittent simultanément l’avion en un point A, d’altitude $z_A=1500\text{ m}$. Lorsque l’élève ouvre son parachute, le moniteur relève la valeur de l’altitude $z_B$ indiquée par son altimètre.

Données :

• Loi fondamentale de la statique des fluides : $p(z)-p(z+h)=\rho gh$ avec $p$ en Pa, $h$ en m, $g$ intensité du champ de pesanteur et $\rho$ la masse volumique de l’air en $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ ;
• Echelle absolue de température : $T(\text{K})=\theta {(}^{\circ }\text{C})+273,15$ ;
• Constante des gaz parfaits : $R=8,314\text{ Pa}\cdot {\text{m}}^3\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ ;
• Masse molaire de l’air : $M=29,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;
• À l’altitude $z_A=1500\text{ m}$, la valeur de la pression est $p_A=845\text{ hPa}$ et celle de la température est ${\theta }_A=5,5^{\circ }\text{C}$ ;
  Dans la situation étudiée, l’air peut être considéré comme un gaz parfait.

5. En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits, montrer que la masse volumique de l’air à l’altitude $z_A=1500\text{ m}$ a pour valeur $\rho =1,06\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$.

On suppose que cette valeur de la masse volumique de l’air est constante pour la hauteur de chute considérée. Entre le point A et l’ouverture du parachute, l’altimètre a mesuré une différence de pression de $31,8\text{ hPa}$.

6. Déterminer l’altitude $z_B$ qu’afficherait l’altimètre s’il utilisait la loi fondamentale de la statique des fluides.

Partie 3 – Détermination théorique de l’altitude lors de l’ouverture du parachute

L’élève et son moniteur quittent l’avion à $t=0\text{ s}$ à l’altitude $z_A=1500\text{ m}$ avec une vitesse horizontale $v_A=130\text{ km}\cdot {\text{h}}^{-1}$. L’élève doit ouvrir son parachute après avoir compté 10 secondes. On néglige les actions de l’air dans cette partie.

7. Indiquer la (ou les) action(s) exercée(s) sur le parachutiste et la (ou les) modéliser par une (ou des) force(s).
8. En déduire, en justifiant, les coordonnées théoriques du vecteur accélération $a_x(t)$ et $a_z(t)$ et les expressions des coordonnées $v_x(t)$ et $v_z(t)$ du vecteur vitesse.
9. Montrer que les équations horaires du mouvement sont :
   $$\{\begin{array}{l}x(t)=v_{A}t\\ z(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+z_A\end{array}$$
10. Déterminer l’altitude théorique $z_C$ à laquelle le parachutiste devrait ouvrir son parachute sachant que cette ouverture doit avoir lieu $10\text{ s}$ après le saut.
11. Proposer au moins deux raisons pour expliquer la différence entre la valeur mesurée $z_B=1,2\times 10^3\text{ m}$ et la valeur calculée $z_C$.

Partie 4 – Parachute de secours

Si le parachute ne s’ouvre pas, la vitesse de chute peut atteindre $200\text{ km}\cdot {\text{h}}^{-1}$. Un déclencheur de sécurité doit alors libérer le parachute de secours selon deux conditions :

• Action avant que l’altitude ne devienne inférieure à $320\text{ m}$.
• Passer de $200\text{ km}\cdot {\text{h}}^{-1}$ à moins de $20\text{ km}\cdot {\text{h}}^{-1}$ en $10\text{ s}$.

Une fois ouvert, les frottements sont modélisés par $\vec{f}$ de valeur $f=k{v}^2$.

12. Montrer que la modélisation (figure 2) rend bien compte de la condition de fonctionnement portant sur la vitesse.
13. Écrire la relation entre le vecteur accélération $\vec{a}$ du système, et les forces modélisant les actions s’exerçant sur le système.
14. Après $t=9\text{ s}$, la vitesse devient constante $v_f$. Écrire la relation entre les valeurs des forces et en déduire l’expression de $k$ en fonction de $m$, $g$ et $v_f$.
15. En déduire la valeur du coefficient de frottement $k$ choisi pour la modélisation. Préciser l’unité de $k$.
16. Donner les caractéristiques (sens, direction et valeur) du vecteur accélération du système à la date $t=2\text{ s}$. Commenter.

EXERCICE A : EVOLUTION DU SUCRE DANS UNE BOISSON GAZEUSE (5 points)

Les sodas sont des solutions acides constituées principalement d’eau, de dioxyde de carbone et de saccharose dissous. Lors de leur fabrication, les industriels indiquent une date de durabilité minimale (DDM), généralement de 3 mois. Le saccharose subit, en milieu acide, une hydrolyse totale modélisée par :
$$C_{12}{H}_{22}{O}_{11}(aq)+H_{2}O(\ell )\to C_6{H}_{12}{O}_6(aq)+C_6{H}_{12}{O}_6(aq)$$
$$\text{saccharose S}\to \text{glucose}+\text{fructose}$$

La problématique est de déterminer le pourcentage de saccharose restant lorsque la DDM est atteinte. On réalise l'expérience à $20^{\circ }\text{C}$ et $pH=2,5$.

1. Proposer une justification de l’utilisation d’une solution tampon de pH inférieur à 7 pour réaliser cette expérience.
2. Expliquer pourquoi les mesures effectuées ne permettent pas de répondre directement à la problématique.

On émet l’hypothèse que cette évolution suit une loi de vitesse d’ordre 1.

3. Définir la vitesse volumique $v$ de disparition du saccharose.
4. Expliquer comment obtenir une estimation de la valeur de la vitesse volumique de disparition du saccharose à un instant $t$ donné à partir des mesures réalisées (Figure 1).
5. Dans le cas d’une loi de vitesse d’ordre 1, rappeler la relation existant entre la vitesse volumique de disparition $v$, la concentration [S] et une constante de vitesse $k$.
6. Discuter de l’accord des mesures avec une loi de vitesse d’ordre 1 à l'aide de la figure 2.
7. Montrer que la constante de vitesse $k$ a une valeur de l’ordre de $7,3\times 10^{-4}{\text{ h}}^{-1}$.

L’évolution de la concentration s’écrit : $[S]=[S{]}_0{e}^{-kt}$.

8. Rappeler la définition du temps de demi-réaction noté $t_{1/2}$ et montrer que, pour cette loi, il est indépendant de la concentration initiale.
9. Déterminer la valeur du temps de demi-réaction dans les conditions de l’expérience. Expliquer la démarche.
10. Estimer le pourcentage de saccharose restant dans le soda lorsque la DDM de 3 mois est atteinte.

EXERCICE B : SYNTHÈSE D’UN ARÔME ALIMENTAIRE (5 points)

Le méthanoate d’éthyle est un additif à odeur de rhum obtenu par réaction entre l’acide méthanoïque et l’éthanol :
$$C{H}_2{O}_2(\ell )+C_2{H}_{6}O(\ell )\stackrel{H_{2}S{O}_4}{\to }{C}_3{H}_6{O}_2(\ell )+H_{2}O(\ell )$$

Données :

• Caractéristiques des réactifs et des produits à $25^{\circ }\text{C}$ :

• Spectroscopie Infrarouge (IR) :

Protocole 1 : Chauffage à reflux de 1,20 mol d'éthanol et 1,20 mol d'acide méthanoïque. État final : 0,40 mol de chaque réactif et 0,80 mol de chaque produit.
Protocole 2 : Distillation du mélange. On obtient 29,0 g de distillat.

1. Écrire les formules développées de l’acide méthanoïque, de l’éthanol et de l’ester.
2. Citer deux facteurs mobilisés pour améliorer la cinétique de la synthèse.
3. Indiquer auquel des deux protocoles correspond le schéma de la figure 1.
4. Donner les noms des éléments de verrerie numérotés ➀ et ➁ sur le montage.
5. Justifier, sans calcul, que la synthèse du protocole 1 n’est pas une transformation totale.
6. Dresser un tableau d’avancement pour le protocole 1 faisant apparaitre l’avancement final $x_f$.
7. Définir et calculer le rendement ${\eta }_1$ pour le protocole 1.
8. Proposer deux arguments pour justifier le fait que le rendement du protocole 2 (${\eta }_2=78\%$) soit supérieur à ${\eta }_1$.
9. Relever une observation expérimentale montrant que le distillat est constitué de méthanoate d’éthyle.
10. Déterminer la masse volumique du distillat (volume obtenu 32 mL, masse 29,0 g) et discuter le résultat.
11. Discuter la compatibilité du spectre IR (figure 2) avec l’espèce attendue.

EXERCICE C : « L’AMMONIAQUE », UN PRODUIT MÉNAGER COURANT (5 points)

L'ammoniaque est une solution aqueuse de gaz ammoniac $N{H}_3(g)$. L'étiquette d'une bouteille commerciale indique : « Ammoniaque concentration 13% » (titre massique).

Données à $25^{\circ }\text{C}$ :

• Masse molaire de l’ammoniac : $M(N{H}_3)=17,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
• Produit ionique de l’eau : $K_e=1,0\cdot 10^{-14}$
• Densité de la solution commerciale : $d=0,97$
• $p{K}_a=-\log K_a$ ; couple $N{H}_4^{+}(aq)/N{H}_3(aq)$, $p{K}_a=9,2$

Étude préliminaire : étude du couple ion ammonium/ammoniac

1. Préciser si l’ammoniac est un acide ou une base en solution aqueuse. Justifier.
2. Écrire l’équation de la réaction entre l’ammoniac dissous $N{H}_3(aq)$ et l’eau.
3. Donner la valeur de $K_a$ du couple et rappeler la relation la liant aux concentrations à l’équilibre.
4. Tracer le diagramme de prédominance du couple.
5. Expliquer comment retrouver le $p{K}_a$ à partir du diagramme de distribution (figure 1).

Concentration attendue en ammoniac dans la solution commerciale
6. À partir de l’étiquette, montrer que la concentration molaire de la solution commerciale est de l’ordre de $7,4\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

Titrage de la solution « d’ammoniaque » commerciale
On prépare une solution $S_d$ 100 fois moins concentrée.

• Volume prélevé $V_d=10,0\text{ mL}$ de $S_d$.
• Titrant : acide chlorhydrique $(H_3{O}^{+}(aq),C{l}^{-}(aq))$ de concentration $C_A=(5,00\pm 0,02)\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

7. À partir de la figure 2 :
   • déterminer le pH de la solution $S_d$ ;
   • déterminer l’espèce prédominante au début et à la fin du titrage ;
   • en déduire l’équation de la réaction support du titrage.
8. Définir l’équivalence et déterminer le volume équivalent $V_E$.
9. Déterminer la valeur de la concentration $C_d$ en ammoniac dans la solution $S_d$.

Incertitudes :
L'incertitude-type $u(C_d)$ se déduit par :
$$\frac{u(C_d)}{C_d}=\sqrt{{\left(\frac{u(V_E)}{V_E}\right)}^2+{\left(\frac{u(C_A)}{C_A}\right)}^2+{\left(\frac{u(V_d)}{V_d}\right)}^2}$$
Incertitudes sur les volumes : $0,2\text{ mL}$.

10. Déterminer $u(C)$ sur la solution commerciale sachant que $\frac{u(C)}{C}=\frac{u(C_d)}{C_d}$. Écrire le résultat $C\pm u(C)$.
11. Confronter le résultat expérimental avec l’étiquette. Commenter.