Bac 2021 Physique-chimie : sujet et corrigé

L’urée est un solide blanc, soluble dans l’eau, qui se forme dans le foie par dégradation des acides aminés. L’urée est filtrée par les reins et éliminée de l’organisme par l'urine.
L’urée peut servir à la synthèse de l’acide barbiturique nécessaire à l’élaboration des médicaments barbituriques. La partie 1 est consacrée à l’étude de cette synthèse.
Par ailleurs, la connaissance du taux d’urée présente dans l’urine est une donnée importante pour suivre l’évolution de certaines pathologies. Dans la partie 2 les caractéristiques cinétiques d’une étape-clé du dosage de l’urée sont étudiées.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1 – Synthèse de l’acide barbiturique à partir de l’urée

L’acide barbiturique et plus généralement les barbituriques constituent un groupe de médicaments qui agissent sur le système nerveux.
De nos jours, l’acide barbiturique est synthétisé à partir d’urée et de malonate de diéthyle.

La synthèse de l’acide barbiturique est modélisée par la réaction (1) d’équation :
$C{H}_4{N}_{2}O+C_7{H}_{12}{O}_4⟶C_4{H}_4{N}_2{O}_3+2C_2{H}_{6}O$ (réaction 1)
(urée + malonate de diéthyle $⟶$ acide barbiturique + éthanol)

Données à 25°C

On note l’acide barbiturique $HA$ et sa base conjuguée $A^{-}$. En tant qu’espèce ionique, cette base conjuguée est soluble dans l’eau.
Le $p{K}_A$ du couple acide/base de l’acide barbiturique a pour valeur $4,08$.

1. Écrire la formule semi-développée du malonate de diéthyle.
2. Sur la formule précédente, entourer le(s) groupe(s) caractéristique(s) du malonate de diéthyle et citer la (ou les) famille(s) fonctionnelle(s) correspondante(s).

Synthèse de l’acide barbiturique
L'acide barbiturique peut être synthétisé à partir de l’urée, en milieu fortement basique, selon le protocole suivant :
(a) Dans un ballon très sec, dissoudre à chaud $1,5\text{ g}$ d’urée ($0,025\text{ mol}$) et $0,5\text{ g}$ de sodium dans $10\text{ mL}$ d'éthanol, puis ajouter $6,5\text{ mL}$ de malonate de diéthyle.
(b) Réaliser un chauffage à reflux du mélange.
(c) Après chauffage et refroidissement, ajouter $10\text{ mL}$ d'acide chlorhydrique ($H_3{O}^{+}(aq),C{l}^{-}(aq)$) concentré. Laisser refroidir en plongeant le ballon dans un cristallisoir contenant de l’eau à $5\text{°C}$ : des cristaux blancs (légèrement jaunâtres) d’acide barbiturique apparaissent lentement. Réaliser une filtration sous vide puis rincer les cristaux avec de l’eau glacée.
(d) Réaliser une purification par recristallisation ; pour cela, récupérer les cristaux dans un erlenmeyer, les dissoudre dans un minimum d'eau distillée bouillante et laisser refroidir lentement d'abord à l'air puis dans un bain eau-glace. Filtrer à nouveau, rincer à l'eau glacée, sécher les cristaux et les mettre à l'étuve sur un verre de montre taré.
(e) Peser les cristaux secs.

Après la mise en œuvre de ce protocole, la masse de produit recristallisé sec obtenu vaut $m_b=2,6\text{ g}$.

3. Indiquer les deux intérêts du chauffage à reflux dans cette synthèse.
4. Justifier l’apparition de cristaux d’acide barbiturique lors de l’étape (c).
5. Montrer que l’urée est le réactif limitant de la synthèse.
6. Déterminer la masse théorique $m_{bth}$ d’acide barbiturique que l’on pourrait obtenir si la synthèse était totale.
7. Exprimer puis calculer le rendement $\eta$ de cette synthèse. Proposer des explications pour rendre compte du fait que le rendement est inférieur à $100\text{ \%}$. Proposer une stratégie pour l’augmenter.

Contrôle de la pureté en acide barbiturique du produit recristallisé
Afin de déterminer le degré de pureté du produit obtenu, on prépare une solution de volume $V=100,0\text{ mL}$ de solution d’acide barbiturique par dissolution de $1,00\text{ g}$ de produit recristallisé obtenu à l’aide de la synthèse précédente.
On procède ensuite au titrage de $100,0\text{ mL}$ de solution d’acide barbiturique préparée par une solution d’hydroxyde de sodium ($N{a}^{+}(aq),H{O}^{-}(aq)$) de concentration $C_B=5,00\times 10^{-1}\text{ mol}\cdot L^{-1}$. On suit le titrage par pH-mètrie. On obtient la représentation graphique reproduite sur la figure 1 (page 4/16).

8. En utilisant la notation $HA(aq)$ pour l’acide barbiturique en solution aqueuse et les résultats expérimentaux, écrire l’équation de la réaction support du titrage.
9. Schématiser et légender le montage permettant de réaliser le titrage de l’acide barbiturique par la solution d’hydroxyde de sodium.
10. Rappeler la définition de l’équivalence d’un titrage.
11. À partir des résultats du titrage, déterminer la masse en acide barbiturique présente dans $1,00\text{ g}$ de solide recristallisé.
12. Préciser si la recristallisation a été satisfaisante. Justifier.

Partie 2 – Étude de la cinétique de l’hydrolyse de l’urée

Dans le cadre d’un suivi médical, il peut être nécessaire de contrôler la teneur en urée dans les urines. Une méthode pour réaliser ce dosage consiste à procéder, dans un premier temps, à l’hydrolyse de l’urée en ions ammonium et carbonate. Ce sont les ions ammonium formés qui, par la suite, font l’objet d’une analyse en vue de remonter à la concentration initiale en urée.
Dans ce processus de dosage, l’hydrolyse de l’urée est une transformation lente. Une étude expérimentale est conduite pour établir les caractéristiques cinétiques de cette transformation et la manière de l’optimiser.
Pour simplifier l’étude, l’hydrolyse de l’urée est modélisée par la réaction (2) d’équation :
$C{H}_4{N}_{2}O(aq)+2H_{2}O(l)⟶2N{H}_4^{+}(aq)+C{O}_3^{2-}(aq)$ (réaction 2)
L’eau est en large excès.

On suit l’évolution, au cours du temps, de la concentration en quantité de matière de l’urée, $[ur\acute{e}e{]}_t$, dans une solution aqueuse diluée et maintenue à la température constante de $37\text{ °C}$.
Les mesures et leurs exploitations ont permis de tracer les représentations en figures 2 et 3 en annexe page 15/16.

13. D’après les résultats expérimentaux, indiquer si l’hydrolyse de l’urée est une transformation totale ou non. Justifier.
14. Indiquer de même si cette transformation est rapide ou lente.
15. Déterminer la concentration initiale en urée $[ur\acute{e}e{]}_0$ et estimer la valeur du temps de demi-réaction $t_{1/2}$. Expliquer la démarche.
16. Discuter la possibilité de mettre en œuvre le dosage de l’urée décrit en introduction de la partie 2 compte tenu des caractéristiques d’évolution temporelle de l’hydrolyse de l’urée.

Pour affiner la caractérisation de la cinétique de cette transformation, on cherche à identifier sa loi de vitesse.
17. Définir la vitesse volumique de disparition de l’urée en fonction de la concentration en urée, $[ur\acute{e}e{]}_t$.
18. Montrer que les résultats expérimentaux sont compatibles avec une loi de vitesse d’ordre 1 pour l’évolution de la vitesse volumique de disparition de l’urée. Justifier.
19. On note $k$ la constante de vitesse de cette loi. Déterminer la valeur de $k$.

L’hydrolyse peut être réalisée en présence d’une enzyme : l’uréase.
Les résultats de deux expériences d’hydrolyse de l’urée sont regroupés dans le tableau suivant.

Lorsque l’évolution temporelle de la concentration suit une loi cinétique d’ordre 1, $t_{1/2}$ et $k$ sont reliés par la relation : $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$

20. Sachant que l’on récupère la totalité de l’uréase à la fin de l’hydrolyse, indiquer son rôle lors de cette hydrolyse.
21. Comparer les échelles de temps relatives à l’hydrolyse de l’urée avec et sans uréase. Conclure quant à l’optimisation recherchée pour l’hydrolyse de l’urée.

Mots-clés : premier principe et loi phénoménologique de Newton, intensité sonore, atténuation.

Déguster un vin à la bonne température est essentiel pour pouvoir en apprécier les saveurs gustatives et odorantes. On utilise des caves à vin.
On s’intéresse à une bouteille de vin rouge léger dont la température idéale de service est de $13\text{° C}$. Initialement, cette bouteille et son contenu sont à une température voisine de $22\text{° C}$. On place cette bouteille dans la cave à vin afin d’optimiser sa dégustation.
L’air à l’intérieur de la cave à vin joue le rôle d’un thermostat. Sa température $T_{air}$ demeure constante et égale à $13\text{ °C}$.

Partie 1 – Evolution de la température - Durée du refroidissement

On s’intéresse à l’évolution de la température $T$ du système {vin + bouteille} placé dans le thermostat.
Le système {vin + bouteille} est immobile. L’air de la cave à vin est ventilé.
On désigne par $Q$ le transfert thermique entre l’air et le système, et par $\Phi$ le flux thermique correspondant.
On fait l’hypothèse que le flux thermique $\Phi$ vérifie la loi phénoménologique de Newton : $\Phi =-h\times S\times (T-T_{air})$

• $S$ est la surface d’échange entre le système et le thermostat (en $m^2$) ;
• $h$ est le coefficient d’échange convectif (en $W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}$).

Données

• Surface d’échange entre la bouteille et l’air : $S=4,66\times 10^{-2}{\text{ m}}^2$
• Coefficient d’échange convectif : $h=10\text{ W}\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}$
• Capacité thermique du système {vin + bouteille} : $C=3,25\text{ kJ}\cdot K^{-1}$
• $T(K)=\theta (°C)+273$

1. À l’aide du premier principe de la thermodynamique, relier la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système {vin + bouteille} au transfert thermique $Q$ entre l’air et le système.
2. Exprimer le transfert thermique $Q$ pendant une durée très petite $\Delta t$ en fonction du flux thermique $\Phi$ supposé constant pendant cette durée et de $\Delta t$. Rappeler les unités SI des grandeurs.
3. Exprimer le flux thermique $\Phi$ en fonction de la capacité thermique $C$ du système, de sa variation de température $\Delta T$ et de la durée $\Delta t$.
4. En utilisant la loi phénoménologique de Newton, et en faisant tendre $\Delta t$ vers $0$, vérifier que l’équation différentielle qui régit l’évolution de la température $T$ s’écrit : $\frac{dT}{dt}=-\frac{1}{\tau }(T-T_{air})$. En déduire l’expression et l’unité de $\tau$.

Le modèle d’évolution temporelle de la température est : $T(t)=(T_0-T_{air})e^{-\frac{t}{\tau }}+T_{air}$

5. Retrouver à l’aide du graphique (page 7) les valeurs de $T_0$ et de $T_{air}$.
6. Estimer graphiquement au bout de combien de temps le vin pourra être servi à la température souhaitée (à $0,5$ degré près).

Partie 2 – Cave à vin et niveau d’intensité sonore

Le niveau d’intensité sonore moyen d’une cave à vin est de $42\text{ dB}$ à environ $1,0\text{ m}$ avec une fréquence sonore voisine de $200\text{ Hz}$. Un restaurateur a besoin de deux caves à vin dans un même local fermé. Il cherche à savoir si des clients assis juste derrière la cloison, à $1,0\text{ m}$ des caves à vin, sont susceptibles de les entendre.

Données

• Niveau d’intensité sonore $L$ en décibel : $L=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0=1,0\times 10^{-12}\text{ W}\cdot m^{-2}$
• Seuil d'audibilité en fonction de la fréquence (graphique page 8).
• Atténuation par absorption $A=L_i-L_t$. Pour les cloisons du restaurant :

7. Montrer que le niveau sonore total émis par les deux caves à vin, à $1,0\text{ m}$ de celle-ci sans la cloison serait de $45\text{ dB}$.
8. Le signal sonore émis par les deux caves serait-il audible par les clients placés derrière la cloison ? Justifier.

Mots-clés : mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, lois de Newton, langage Python.

Le « water bottle flip » est un jeu d’adresse consistant à lancer une bouteille plastique partiellement remplie d’eau afin qu’elle se pose verticalement sur sa base sur une table.
Dans cet exercice, on se propose d’étudier le mouvement du centre de masse $G$ de la bouteille (masse $m=162\text{ g}$). On fait l’hypothèse que l’action de l’air est négligeable. Le mouvement est étudié dans le système d’axes $(Oxy)$ (Cf. figure 1).

À la date $t=0\text{ s}$, le centre de masse $G$ est placé à l’origine du repère $O$ et sa vitesse initiale, notée ${\vec{v}}_0$, a une direction faisant un angle $\alpha$ avec l’axe horizontal $(Ox)$.

Recherche des conditions initiales sur la vitesse
Sur la figure 2, la durée entre deux positions successives est $\tau =40\text{ ms}$. L’échelle est donnée par la bouteille dont la hauteur est $18,8\text{ cm}$.

1. Représenter sur la copie le système d’axes $(Oxy)$, le vecteur ${\vec{v}}_0$, l’angle $\alpha$ ainsi que les coordonnées $v_{0x}$ et $v_{0y}$ et l’allure de la trajectoire.
2. À partir des données expérimentales et de la figure 2, vérifier que la valeur expérimentale $v_0$ du vecteur vitesse initial est proche de $3,6\text{ m}\cdot s^{-1}$.
3. Proposer une méthode permettant de déterminer expérimentalement la valeur de l’angle $\alpha$.

Modélisation du déplacement du centre de masse
4. En précisant la loi utilisée, donner les expressions des coordonnées du vecteur accélération $\vec{a}$ du centre de masse : $a_x(t)$ et $a_y(t)$.
5. En déduire les expressions des coordonnées $v_x(t)$ et $v_y(t)$ du vecteur vitesse et montrer que les équations horaires sont :
$$\{\begin{array}{l}x(t)=v_0\cos (\alpha )\times t\\ y(t)=-\frac{1}{2}g\times t^2+v_0\sin (\alpha )\times t\end{array}$$

Pour déterminer la distance à laquelle tombe la bouteille, on utilise un programme Python :

g = 9.81 # Intensité du champ de pesanteur en m /s2
v0 = float(input('valeur de la vitesse initiale(en m/s) : v0 = '))
alpha = float(input('valeur de l’angle de tir(en degré) : alpha = '))
# Tracé des courbes horaires 
t=np.linspace(0,0.65,100)
for i in t :
    x = v0*cos(alpha*pi/180)*t #calcul de x à la date t
    y = -0.5*g*t**2+ [rectangle gris] *t #calcul de y à la date t

L’exécution permet d’obtenir le graphique modélisant l’évolution des coordonnées $(x,y)$ (page 11).

6. Associer chacun des tracés (a) et (b) à $x(t)$ et $y(t)$.
7. Préciser ce qui est caché par le rectangle gris dans la ligne 15 du programme (expression ou valeur).
8. Estimer la durée du mouvement de la bouteille obtenue par la modélisation (sachant que $G$ est à $2\text{ cm}$ du fond à l'arrivée).
9. Proposer une explication pour l’écart entre la durée réelle $\Delta t=(0,50\pm 0,05)\text{ s}$ et la modélisation.
10. Déterminer la distance à laquelle la bouteille tombe sur la table par rapport à l’origine.

Mots-clés : étude d’une lunette commerciale à partir d’un modèle, constructions graphiques, grossissement.

La notice d’une lunette astronomique commerciale porte les indications suivantes :

• Lunette afocale
• Livrée avec deux oculaires de focales $6\text{ mm}$ et $12\text{ mm}$
• Grossissement jusqu’à $100x$
• Longueur totale $56\text{ cm}$.

On modélise la lunette par deux lentilles minces convergentes $(L_1)$ (objectif, centre $O_1$, focale $f_1^{\prime }$) et $(L_2)$ (oculaire, centre $O_2$, focale $f_2^{\prime }$). On rappelle que pour un petit angle $\alpha$ en radians, $\tan \alpha \simeq \alpha$.

Estimation de la valeur de la distance focale de l’objectif

1. En s’appuyant sur le schéma en ANNEXE 2, justifier que la lunette modélisée est bien afocale.
2. Exprimer la distance $O_1{O}_2$ en fonction des distances focales $f_1^{\prime }$ et $f_2^{\prime }$ pour cette lunette afocale.
3. À l’aide des indications commerciales, montrer que la valeur de la distance focale de l’objectif est de l’ordre de $55\text{ cm}$.

Estimation de la valeur du grossissement commercial
L’objet $A_{\infty }{B}_{\infty }$ est à l’infini.
4. Sur le schéma en ANNEXE 2, construire l’image $A_1{B}_1$ de l’objet donnée par l’objectif.
5. Exprimer $\tan \alpha$ en fonction de $f_1^{\prime }$ et $A_1{B}_1$.
6. Sur le schéma, construire la marche d’un rayon lumineux incident issu de $B_1$ émergent de la lentille $(L_2)$.
7. Positionner ${\alpha }^{\prime }$ sur le schéma et exprimer $\tan {\alpha }^{\prime }$ en fonction de $f_2^{\prime }$ et $A_1{B}_1$.
8. Rappeler la définition du grossissement $G$ de la lunette et l’exprimer en fonction de $f_1^{\prime }$ et $f_2^{\prime }$.
9. Justifier l’intérêt d’utiliser des lentilles telles que $f_2^{\prime }\ll f_1^{\prime }$.
10. Compte tenu de $f_1^{\prime }\simeq 55\text{ cm}$, discuter de la cohérence de l’indication « Grossissement jusqu’à $100\times$ ».

Observation d’étoiles doubles
L’œil humain ne peut distinguer deux points $A$ et $B$ que si l’angle $\theta$ sous lequel ils sont vus est supérieur à $3,0\times 10^{-4}\text{ rad}$.
On observe un système d’étoiles doubles. Avec l’un des deux oculaires fournis, on observe un point lumineux unique tandis qu’avec l’autre on observe deux points lumineux.

11. Préciser les oculaires utilisés pour chaque observation et donner un encadrement de l’angle $\alpha$ sous lequel se présentent les deux étoiles à l’œil nu.