Bac 2022 Physique-chimie : sujet et corrigé

Un astronome amateur vient d’acquérir une lunette astronomique avec l’intention d’observer la calotte polaire Nord de la planète Mars.
Cette lunette est dotée d’un objectif de distance focale $910mm$ et d’un oculaire de distance focale $20mm$.

Les objectifs de cet exercice sont :

• Déterminer la distance maximale Terre-Mars pour pouvoir observer cette calotte polaire à travers la lunette (Partie A) ;
• Estimer le temps de mise en température de la lunette pour optimiser les conditions d’observation (Partie B).

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A - Distance maximale Terre-Mars permettant d’observer la calotte polaire Nord

La lunette astronomique étudiée est afocale. Elle est modélisée sur un banc optique par deux lentilles minces convergentes $L_1$ et $L_2$ (voir figure en ANNEXE page 15/15 à rendre avec la copie) placées de telle sorte que le foyer image $F_1^{\prime }$ de la lentille $L_1$ coïncide avec le foyer objet $F_2$ de la lentille $L_2$.

On cherche à former l’image à travers la lunette d’un objet $A_{\infty }{B}_{\infty }$ situé « à l’infini ». Le point $A_{\infty }$ est sur l’axe optique, le point $B_{\infty }$ est hors axe optique.

• Les rayons issus de $A_{\infty }$ arrivent sur la lunette parallèlement à l’axe optique.
• Les rayons issus de $B_{\infty }$ arrivent sur la lunette parallèles entre eux, avec une inclinaison $\alpha$ par rapport à l’axe optique.

L’angle $\alpha$ est l’angle sous lequel est vu l’objet $A_{\infty }{B}_{\infty }$ à l’œil nu. L’angle $\alpha$ est donc l’angle entre les rayons issus de $A_{\infty }$ et les rayons issus de $B_{\infty }$. On note ${\alpha }^{\prime }$ l’angle sous lequel on voit l’image $A^{\prime }{B}^{\prime }$ de l’objet $A_{\infty }{B}_{\infty }$ à travers la lunette.

Données :

• Pouvoir séparateur de l’œil humain : pour pouvoir distinguer deux points $A$ et $B$, l’angle $\theta$ sous lequel un œil humain les observe doit être supérieur à l’angle ${\theta }_0=2,7\times 10^{-4}rad$.
• Pour un angle $\theta$ petit, $\tan \theta \simeq \theta$, où l’angle $\theta$ est exprimé en radians.
• Une lunette est dite « afocale » si elle forme une image à l’infini d’un objet situé à l’infini.
• L’unité astronomique (UA) est une unité de distance qui correspond à la distance moyenne Soleil-Terre. $1UA=150\text{millions de km}$ soit $1,50\times 10^{11}m$.
• Distance moyenne Soleil-Mars : $1,5UA$.

La lunette modélisée

1. Compléter les cadres 1 et 2 sur le schéma, en ANNEXE page 15/15 à rendre avec la copie, en indiquant les noms spécifiques donnés aux lentilles $L_1$ et $L_2$.
2. Sur le schéma, en ANNEXE page 15/15 à rendre avec la copie, représenter le faisceau émergent issu du point $A_{\infty }$ délimité par les rayons 1 et 2 et traversant la lunette.
3. Sur le schéma, en ANNEXE page 15/15 à rendre avec la copie, représenter de même le faisceau émergent issu du point $B_{\infty }$ délimité par les rayons 3 et 4 et traversant la lunette.
4. Sur le schéma, en ANNEXE page 15/15 à rendre avec la copie, faire apparaître l’angle ${\alpha }^{\prime }$ sous lequel est vue l’image de l’objet à l’infini à travers la lunette ainsi que l’image intermédiaire $A_1{B}_1$ (c’est-à-dire l’image de $A_{\infty }{B}_{\infty }$ à travers la lentille $L_1$).
5. Justifier le terme « afocal » pour caractériser cette lunette.

Visibilité de la calotte polaire

6. Rappeler la définition du grossissement $G$ de la lunette faisant intervenir $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$.
7. Montrer que le grossissement de la lunette afocale peut se mettre sous la forme :
   $$G=\frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}$$
   où $f_1^{\prime }$ est la distance focale de la lentille $L_1$ et $f_2^{\prime }$ est la distance focale de la lentille $L_2$. On utilisera l’approximation des petits angles pour les angles $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$.

On note ${\alpha }_{min}$ la valeur minimale que doit avoir l’angle $\alpha$ pour que l’objet soit observable par un œil humain à l’aide de cette lunette.

8. Déterminer l’expression de ${\alpha }_{min}$ en fonction $f_1^{\prime }$, $f_2^{\prime }$ et ${\theta }_0$. Vérifier que, pour la lunette de l’astronome amateur, ${\alpha }_{min}=5,9\times 10^{-6}rad$.
9. Sachant que la taille de la calotte polaire Nord de Mars a un diamètre $d$ d’environ $10^{3}km$, donner une estimation, en km, de la distance maximale $D$ entre Mars et la Terre permettant d’observer cette calotte polaire.
   La distance Terre-Mars n’est pas constante. Elle varie au cours du temps entre $0,5$ et $2,5\text{uniteˊs astronomiques (UA)}$.
10. Compte tenu de la valeur de $D$ trouvée à la question 9, préciser si l’astronome amateur pourra finalement observer la calotte polaire Nord de Mars avec sa lunette.

Partie B - Mise en température avant observation

Lors d’une observation astronomique, l’un des problèmes auxquels sont confrontés les astronomes est la turbulence de l’air. Elle apparaît lorsque l’air n’est plus un milieu homogène. [...] L’une d’elles est la turbulence instrumentale, qui se produit lorsque l’instrument d’optique utilisé et l’air environnant ne sont pas à la même température. Il est ainsi conseillé de mettre l’instrument « en température », c'est-à-dire de le sortir suffisamment à l’avance sur le site d’observation afin que sa température s’écarte de moins de $1^{\circ }C$ de la température de l’air extérieur.

L’astronome cherche à savoir si une durée de deux heures pour la mise en température de son instrument est suffisante pour limiter la turbulence instrumentale.
Pour cela, à l’instant $t=0$, il met la lunette en contact avec l’air extérieur et mesure sa température pendant $20\text{minutes}$ à intervalles de temps réguliers.

Loi de Newton
Le flux thermique $\Phi$ entre un système à la température $\theta$ et un thermostat à la température ${\theta }_e$ est proportionnel à la différence de température $({\theta }_e-\theta )$.
$$\Phi =h\cdot S\cdot ({\theta }_e-\theta )$$

• $\Phi$ : flux thermique ($W$)
• $h$ : coefficient d’échange thermique ($W\cdot m^{-2}{\cdot }^{\circ }{C}^{-1}$)
• $S$ : aire de la surface d’échange entre le corps et le thermostat ($m^2$)
• $\theta$ : température du corps (${}^{\circ }C$)
• ${\theta }_e$ : température du thermostat (${}^{\circ }C$)

Données :

• Température initiale de la lunette : ${\theta }_0=19,5{}^{\circ }C$ à la date $t=0$.
• Température extérieure, supposée constante : ${\theta }_e=9,0{}^{\circ }C$.
• Lorsque un système incompressible au repos subit une variation de température $\Delta \theta$, sa variation d’énergie interne est donnée par la relation $\Delta U=C\cdot \Delta \theta$ ($C$ étant sa capacité thermique).
• Rappel mathématique : ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-x}=0$

Modélisation théorique
11. Indiquer le sens du transfert thermique qui a lieu au cours du refroidissement de la lunette.
12. Enoncer le premier principe de la thermodynamique.
13. Montrer que la variation de la température $\Delta \theta$ de la lunette sur une petite durée $\Delta t$ vérifie la relation :
$$C\cdot \Delta \theta =h\cdot S\cdot ({\theta }_e-\theta )\cdot \Delta t(1)$$
$C$ étant la capacité thermique de la lunette.
14. En déduire que la température $\theta (t)$ de la lunette vérifie l’équation différentielle :
$$\frac{d\theta (t)}{dt}+\frac{\theta (t)}{\tau }=\frac{{\theta }_e}{\tau }(2)$$
où $\tau$ est le temps caractéristique du refroidissement, dont on précisera l’expression.

La solution de l’équation différentielle (2) est de la forme :
$\theta (t)=A\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}+B$ avec $A$ et $B$ deux constantes.

15. Indiquer la valeur que devrait avoir la température de la lunette à l’issue du refroidissement. En déduire la valeur de la constante $B$.
16. Déterminer la valeur de la constante $A$, en fonction de ${\theta }_0$ et ${\theta }_e$, en raisonnant sur la valeur de la température initiale de la lunette.

Simulation
La solution de l’équation différentielle a été utilisée pour réaliser un tracé sur la base des points expérimentaux, en laissant comme paramètre libre $\tau$.
Les valeurs de $A$ et $B$ ont été fixées respectivement à $10,5{}^{\circ }C$ et $9,0{}^{\circ }C$.
Le résultat est optimisé pour une valeur de $\tau =1414s$.

17. Discuter qualitativement l’accord du modèle théorique avec les résultats expérimentaux.
18. En utilisant le résultat de l’optimisation, vérifier que la lunette peut être considérée comme « à température » à la date $t=2,0h$.

La spiruline est un produit à base de cyanobactéries généralement séchées et broyées. [...] La spiruline est très riche en phycocyanine, un pigment bleu.
Pour une qualité optimale du produit fabriqué, la teneur en phycocyanine doit être comprise entre 10 et 15 grammes pour 100 grammes de spiruline déshydratée.

Partie A – Validité d’une méthode de dosage

On met en œuvre une méthode de dosage de la phycocyanine par spectrométrie suivant le protocole ci-après :

• On dispose d’une solution mère de phycocyanine, notée $S_0$, de concentration en masse $C_0=25,0mg\cdot L^{-1}$.
• Préparer une gamme de cinq solutions notées $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$, par dilution à partir de la solution mère.
• Mesurer l’absorbance $A$ de chacune des cinq solutions à une longueur d’onde fixée.
• Tracer le graphique présentant l’absorbance en fonction de la concentration.
• Mesurer l’absorbance de la solution aqueuse étudiée et en déduire sa concentration par lecture graphique.

Données :

• On considère que, dans les solutions étudiées, seule la phycocyanine absorbe la lumière dans la gamme de longueurs d’onde considérée.
• Le spectre d’absorption d’une solution aqueuse de phycocyanine est donné (Figure 1).

1. Décrire un protocole de dilution permettant d’obtenir $100mL$ de la solution $S_2$ de concentration $C_2=5,00mg\cdot L^{-1}$ à partir de la solution $S_0$.
2. Indiquer une valeur de la longueur d’onde adaptée pour mesurer l’absorbance de la solution à l’aide du spectrophotomètre.

Pour valider la méthode de dosage mise en œuvre, on dispose d’une solution aqueuse étalon de phycocyanine, notée $S_E$, de concentration en masse connue $C_E=15,0mg\cdot L^{-1}$.
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats obtenus.

3. Rappeler la loi de Beer-Lambert. Discuter l’accord des mesures obtenues avec cette loi.
4. En précisant la méthode utilisée, déterminer la concentration en masse $C_E$ de la solution $S_E$.

Le même mode opératoire est répété 10 fois. Les résultats obtenus sont réunis ci-dessous.

La valeur de l’écart type de cette série de mesures est $\sigma =0,53mg\cdot L^{-1}$.
L’incertitude-type $u(X)$ d’une grandeur $X$ associée à la moyenne de $N$ mesures est donnée par : $u(X)=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}$.

5. Calculer la valeur moyenne $\overline{C_E}$ et l’incertitude-type $u(C_E)$ liées à cette série de mesures. Ecrire le résultat de cette mesure avec son incertitude-type en conservant trois chiffres significatifs sur la valeur de $C_E$.
6. Conclure quant à la validité de la méthode de dosage.

Partie B – Contrôle de la qualité de la spiruline

On utilise cette méthode de dosage pour vérifier la teneur en phycocyanine de la spiruline déshydratée fabriquée par l’entreprise.
La solution de spiruline à doser, notée $S$, est réalisée en dissolvant $5,0mg$ de spiruline déshydratée dans $50,0mL$ d’eau déminéralisée. L’absorbance de cette solution, mesurée dans les mêmes conditions expérimentales que précédemment, est $A_S=0,44$.

7. Déterminer la concentration en masse en phycocyanine de la solution de spiruline $S$.
8. Calculer la teneur en phycocyanine, exprimée en $g$ pour $100g$, de spiruline déshydratée. Conclure sur la qualité de la spiruline déshydratée.

Du fait de son odeur fruitée, l’éthanoate d'octyle est un ester utilisé pour préparer des arômes artificiels, en particulier des arômes d’orange.
Cet exercice porte sur la synthèse de l’éthanoate d’octyle.

Equation de la réaction de synthèse
$$\text{Acide eˊthanoı¨que}+\text{Octan-1-ol}\rightleftharpoons \text{Ethanoate d’octyle (ester)}+H_{2}O$$

Protocole simplifié de la synthèse de l’éthanoate d’octyle

• Synthèse : Introduire dans un ballon $n_1=0,100mol$ d’acide éthanoïque et $n_2=0,100mol$ d’octan-1-ol. Ajouter de la pierre ponce. Chauffer à reflux à $40{}^{\circ }C$ pendant 2 heures.
• Traitement : Ajouter $50mL$ d’une solution aqueuse d’hydrogénocarbonate de sodium. Transvaser dans une ampoule à décanter. Extraire la phase organique.

Données :

• Sur les espèces chimiques :

  Espèce chimique	Acide éthanoïque	Octan-1-ol	Ethanoate d’octyle
  Formule brute	$C_2{H}_4{O}_2$	$C_8{H}_{18}O$	$C_{10}{H}_{20}{O}_2$
  Solubilité aqueuse	Totale	Faible	Très faible
  Masse molaire	$60,0g\cdot mo{l}^{-1}$	$130g\cdot mo{l}^{-1}$	$172g\cdot mo{l}^{-1}$

• Table de données de spectroscopie infrarouge :

  Liaison	$O-H$	$C=O$
  Nombres d’onde (en $c{m}^{-1}$)	3 200 à 3 500	1 650 à 1 740
  Intensité du pic	Forte	Forte
  Largeur du pic	Large	Fine

Rendement de la synthèse
Une première analyse de la phase organique révèle la présence de deux espèces chimiques. Une séparation est réalisée. Deux liquides, $A$ et $B$, de masse respective $m_A=4,30g$ et $m_B=11,34g$ sont obtenus. Leurs spectres IR sont fournis.

1. Expliquer l’intérêt d’ajouter une solution aqueuse dans le milieu réactionnel avant de procéder à la séparation par décantation.
2. Identifier, en justifiant, les espèces chimiques pouvant être présentes dans la phase organique.
3. Recopier et nommer les groupes fonctionnels présents dans les molécules d’acide éthanoïque et d’éthanoate d’octyle.
4. À l’aide des deux spectres, montrer que le liquide $A$ correspond à l’alcool et le liquide $B$ à l’ester.
5. Déterminer les quantités de matière en octan-1-ol et en éthanoate d’octyle obtenues.
6. Calculer le rendement $\eta$ de cette synthèse, défini par : $\eta =\frac{n(C_{10}{H}_{20}{O}_2{)}_f}{n(C_{10}{H}_{20}{O}_2{)}_{max}}$.

Optimisation de la synthèse
Le quotient de réaction est : $Q_r=\frac{n(C_{10}{H}_{20}{O}_2)\times n(H_{2}O)}{n(C_2{H}_4{O}_2)\times n(C_8{H}_{18}O)}$.
Données : $Q_{r,\acute{e}q}=K=4,0$. Avec un mélange équimolaire initial, $\eta =66\%$.

7. En raisonnant sur le quotient de réaction, expliquer pourquoi l’ajout d’un réactif permet de déplacer l’équilibre.
8. On note $n_1^{\prime }$ la nouvelle quantité d’acide éthanoïque initiale et $n_2=0,100mol$ celle d’octan-1-ol. On admet que : $Q_{r,\acute{e}q}=\frac{x_{\acute{e}q}^2}{(n_1^{\prime }-x_{\acute{e}q})\times (n_2-x_{\acute{e}q})}$. Déterminer $n_1^{\prime }$ pour obtenir un rendement d’au moins $0,95$.

Afin d’améliorer l’interprétation d’une radiographie, des produits de contraste peuvent être administrés. [...] Des chercheurs ont étudié la dégradation de ces produits (acide diatrizoïque, acide iotalamique et iopamidol) sous l’effet du rayonnement ultraviolet.

Données :

• Masses molaires atomiques : $M(H)=1,00g\cdot mo{l}^{-1}$ ; $M(C)=12,0g\cdot mo{l}^{-1}$ ; $M(O)=16,0g\cdot mo{l}^{-1}$.

Première partie : propriétés chimiques de l’acide diatrizoïque

1. En utilisant la notation simplifiée $RCOOH$, représenter le schéma de Lewis de l’acide diatrizoïque et de l’ion carboxylate correspondant $RCO{O}^{-}$.
2. Établir l’équation de réaction acide-base de l’acide diatrizoïque avec l’eau. Exprimer la constante d’acidité $K_A$ du couple.
3. Représenter le diagramme de prédominance du couple ($p{K}_a=1,1$) et identifier l’espèce prédominante dans les eaux usées ($pH$ entre $6,5$ et $8$).

Seconde partie : cinétique de dégradation de produits de contraste

La figure 2 représente la variation de concentration des acides diatrizoïque et iotalamique en fonction du temps.

4. À l’aide de la figure 2, déterminer les valeurs des temps de demi-réaction pour les deux acides. Identifier le produit qui se dégrade le plus rapidement.
5. Donner la définition de la vitesse volumique $v$ de disparition de l’iopamidol en fonction de sa concentration $[Iop](t)$.
6. Si la cinétique est d’ordre 1, alors $v=k\times [Iop](t)$. En déduire l’équation différentielle : $\frac{d[Iop](t)}{dt}+k\times [Iop](t)=0$.

À l’aide d’un programme Python, les données ont été modélisées par $[Iop](t)=[Iop{]}_0\times e^{-(k\cdot t)}$.
Les valeurs obtenues sont : $a=9,70$ et $b=0,020$.

7. À partir de la figure 3, justifier que le modèle d’ordre 1 est validé. Relier les paramètres $a$ et $b$ du programme aux constantes $[Iop{]}_0$ et $k$.
8. Un établissement souhaite traiter ses eaux usées pour ne pas dépasser une concentration en masse de $2,0mg\cdot L^{-1}$ d'iopamidol. La concentration initiale est $[Iop{]}_0=10,0\mu mol\cdot L^{-1}$. Déterminer la durée minimum $t_m$ nécessaire du traitement.
   Donnée : Masse molaire de l’iopamidol : $777g\cdot mo{l}^{-1}$.

Programme Python :

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
# Données
temps = np.array([0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110])
Iopamidol = np.array([10.0,7.74,6.22,5.24,4.36,3.67,2.98,2.43,1.99,1.66,1.39,1.11])
def func(x, a, b):
    return a * np.exp(-b*x) # modèle de notre fonction
popt, pcov = curve_fit(func, temps, Iopamidol, bounds=(0, [15, 0.1]))