Bac 2022 Physique-chimie : sujet et corrigé

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C’est un composé ionique, de formule brute $N{a}_2{C}_{20}{H}_6{I}_4{O}_5$ noté plus simplement $N{a}_{2}Ery$, présent en solution sous la forme d’ions $N{a}^{+}$ et $Er{y}^{2-}$. Les ions $Er{y}^{2-}$ constituent l’une des trois formes acide-base de l’érythrosine.

Les objectifs de l’exercice sont d’étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $H_{2}Ery$, de l’érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l’eau de Javel.

Données :

• Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l’érythrosine :

Écriture simplifiée	$H_{2}Ery$	$HEr{y}^{-}$	$Er{y}^{2-}$
Formule topologique

• Valeurs de $p{K}_A$ à 25 °C des couples acide-base associés à l’érythrosine :
  • $H_{2}Ery/HEr{y}^{-}$ : $p{K}_{A1}=2,4$ ;
  • $HEr{y}^{-}/Er{y}^{2-}$ : $p{K}_{A2}=3,8$.
• Valeurs de masses molaires de quelques espèces :

1. Dosage du colorant E127 dans un révélateur de plaque dentaire

Un révélateur de plaque dentaire est une solution vendue en pharmacie permettant d’améliorer le brossage des dents. Elle est préparée à partir du colorant E127.

Données :

• Masse volumique du révélateur de plaque dentaire étudié : $\rho =1,0g\cdot m{L}^{-1}$ ;
• pH du révélateur de plaque dentaire étudié : $pH=7,0$ ;
• Cercle chromatique fourni.
• Spectre d’absorption d’une solution aqueuse du colorant E127 de concentration en soluté apporté égale à $1,7\times 10^{-5}mol\cdot L^{-1}$ et de pH égal à 7,0 : (voir graphique page 3/12).

Q1. À l’aide de la formule topologique de la forme $H_{2}Ery$ de l’érythrosine ci-dessous, nommer les familles fonctionnelles associées aux groupes caractéristiques A, B et C.

Q2. Identifier, en justifiant, la forme de l’érythrosine qui prédomine dans le révélateur de plaque dentaire étudié.

Sur le site du fabriquant, il est indiqué que le révélateur de plaque dentaire, de couleur rouge, est une solution hydroalcoolique contenant le colorant E127 à 2 % en masse.
Afin de vérifier l’indication précédente sur le titre massique, on réalise les expériences décrites ci-dessous.

Préparation de la solution à doser :

• On introduit 0,5 mL de révélateur de plaque dentaire dans une fiole jaugée de 2,0 L que l’on complète avec de l’eau distillée : on obtient la solution S.

Dosage spectrophotométrique par étalonnage :

• À partir d’une solution aqueuse de colorant E127 de concentration en soluté apporté égale à $1,7\times 10^{-5}mol\cdot L^{-1}$, on prépare par dilution six solutions filles ;
• On mesure l’absorbance de chacune de ces solutions à une longueur d’onde appropriée ; les mesures sont reportées sur le graphe de la figure 1 ;
• On mesure l’absorbance de la solution S à la même longueur d’onde ; on obtient $A=0,484$.

Q3. Justifier la couleur rouge du révélateur de plaque dentaire étudié.

Q4. Après avoir montré que la concentration du colorant E127 apporté dans le révélateur de plaque dentaire est égale à $2,2\times 10^{-2}mol\cdot L^{-1}$, déterminer la valeur du titre massique en colorant E127 du révélateur de plaque dentaire analysé. Commenter.

2. Synthèse de l’érythrosine à partir de la fluorescéine

L’érythrosine peut être synthétisée à partir d’un autre colorant, la fluorescéine, en présence d’acide iodique et d’éthanol ; l’équation de la réaction modélisant cette synthèse est donnée ci-dessous :
$$H_{2}Flu+4I_2\underset{\text{Eˊthanol}}{\overset{\text{Acide iodique}}{\to }}{H}_{2}Ery+4HI$$

Dans une publication scientifique, on trouve les informations suivantes :

• Les différentes étapes d’un protocole de synthèse de l’érythrosine :
  • étape n°1 : réaliser la synthèse de la forme $H_{2}Ery$ de l’érythrosine à partir de 5,0 g de fluorescéine $H_{2}Flu$ et de 9,5 g de diiode $I_2$, en présence d’éthanol et d’acide iodique ; chauffer et agiter le mélange pendant deux heures à une température de 60 °C ;
  • étape n°2 : après refroidissement, filtrer le mélange à l’aide d’un filtre Büchner puis laver le solide rouge obtenu avec de l’eau et de l’éthanol ;
  • étape n°3 : mesurer la température de fusion du solide rouge obtenu.
• La valeur du rendement $r$ de la synthèse : $r=59\%$.

Q5. Identifier le rôle des étapes n°1, n°2 et n°3 du protocole expérimental de synthèse de l’érythrosine.

Q6. Identifier l’opération du protocole expérimental réalisée pour optimiser la vitesse de formation de l’érythrosine.

Q7. Déterminer le réactif limitant de la synthèse de l’érythrosine.

Q8. Montrer que la masse d’érythrosine de forme $H_{2}Ery$ obtenue expérimentalement est d’environ 4,6 g.

Q9. Déterminer le nombre de flacons de 10 mL de révélateur de plaque dentaire, de pH égal à 7 et de concentration égale à $2,2\times 10^{-2}mol\cdot L^{-1}$ en colorant E127, qu’il est possible de fabriquer grâce à cette synthèse.

3. Suivi cinétique de la décoloration d’une solution de colorant E127 par l’eau de Javel

Le filtre Büchner utilisé lors de la synthèse précédente est coloré par les résidus de colorant E127 rouge. Pour le décolorer, on peut utiliser de l’eau de Javel.
En effet, la forme $Er{y}^{2-}$ de l’érythrosine réagit avec les ions hypochlorite $Cl{O}^{-}$ contenus dans l’eau de Javel pour former un produit incolore. Cette réaction est supposée totale.

On réalise, à 25 °C, les deux expériences A et B décrites ci-après :

• Dans des béchers de 50 mL, deux solutions sont préparées à partir d’une solution commerciale d’eau de Javel de concentration en ions hypochlorite égale à $0,73mol\cdot L^{-1}$ :

• Pour l’expérience A :
  • à la date $t=0s$, on verse dans le bécher contenant la solution $S_A$ un volume de 10,0 mL d’une solution aqueuse de colorant E127 de concentration en soluté apporté égale à $1,7\times 10^{-5}mol\cdot L^{-1}$ ;
  • on remplit rapidement une cuve spectrophotométrique avec le mélange réactionnel, on l’introduit dans un spectrophotomètre réglé à une longueur d’onde appropriée et on relève les valeurs d’absorbance en fonction du temps ;
• Pour l’expérience B : on recommence les mêmes opérations avec la solution $S_B$.

Dans chacun des mélanges réactionnels préparés, l’érythrosine est présente sous la seule forme $Er{y}^{2-}$ et cette forme est la seule espèce qui absorbe à la longueur d’onde choisie.
Les résultats obtenus permettent de tracer la courbe d’évolution de la concentration en quantité de matière de la forme $Er{y}^{2-}$ de l’érythrosine pour l’expérience A et B (figure 2).

Q10. Décrire qualitativement, en exploitant la figure 2, l’évolution de la vitesse volumique de disparition de la forme $Er{y}^{2-}$ de l’érythrosine au cours du temps pour l’expérience A. Proposer un facteur cinétique à l’origine de cette évolution.

Q11. Déterminer graphiquement le temps de demi-réaction pour l’expérience A. Commenter.

Q12. Expliquer comment il est possible d’optimiser la décoloration du filtre Büchner.

L’art du jonglage est la plus ancienne des disciplines de cirque connue ; son origine remonte à l’Égypte ancienne. Le but de cet exercice est d’étudier le mouvement d’une balle lors d’une démonstration filmée.
On étudie, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le mouvement d’une balle de jonglage de masse $m$ et de centre de masse C.

Donnée :

• Intensité de la pesanteur : $g=9,81m\cdot s^{-2}$.

La figure 1 est extraite d’une vidéo au cours de laquelle une personne jongle avec plusieurs balles. On suit le mouvement d’une balle.
Dans cette étude :

• on note $(x;y)$ les coordonnées de la position de C dans le repère $(O;x;y)$ et $(v_x;v_y)$ celles de sa vitesse ;
• les évolutions temporelles $y(t)$ et $v_y(t)$ sont respectivement représentées sur les figures 2a et 2b qui font apparaître alternativement des phases notées ① et ② ;
• à la date $t=0s$ la balle, située à l’origine du repère, quitte pour la première fois la main du jongleur avec une vitesse initiale ${\vec{v}}_0$ ;
• lorsque la balle n’est pas en contact avec la main du jongleur, elle est en chute libre. Elle effectue alors un mouvement parabolique en passant d’une main à l’autre, la réception et le lancer se faisant toujours en $y=0m$ ;
• la référence de l’énergie potentielle de pesanteur est choisie à l’ordonnée $y=0m$.

Q1. Décrire qualitativement, selon l’axe Oy, le mouvement de la balle lors de la phase ① à l’aide des figures 2a et 2b.

Q2. Interpréter la figure 2a pour décrire le rôle de la main sur le mouvement de la balle lors de la phase ②.

Q3. Justifier à l’aide de la deuxième loi de Newton, dans le cadre du modèle de la chute libre, que la valeur de la composante $v_x$ de la vitesse est constante et égale à la vitesse initiale $v_{0x}$ lorsque la balle n’est plus en contact avec la main du jongleur.

Q4. Exprimer l’énergie mécanique initiale $E_{m0}$ de la balle en fonction de sa masse $m$ et des composantes $v_{0x}$ et $v_{0y}$ de la vitesse initiale dans le référentiel terrestre.

Dans toute la suite de l’exercice, on ne s’intéresse qu’à la phase ①.

Q5. À l’aide d’un raisonnement énergétique appliqué lors de la phase ①, établir que l’expression de l’altitude maximale $H$ atteinte par la balle s’écrit :
$$H=\frac{v_{0y}^2}{2g}$$

Q6. Déterminer la valeur de $H$ à partir de la relation précédente et d’une lecture graphique de $v_{0y}$ sur la figure 2b. Comparer le résultat à celui obtenu par lecture graphique de la figure 2a.

Q7. Établir l’expression littérale de la coordonnée $v_y(t)$ du vecteur vitesse de la balle lors de la phase ①.

Q8. Évaluer l’intensité de la pesanteur $g$ à l’aide de la figure 2b lors de la phase ①. Commenter.

Q9. Déterminer l’équation horaire $y(t)$ du mouvement du centre de la balle lors de la phase ①.

Q10. On note $t_{air}$ la durée pendant laquelle la balle est en l’air lors de la phase ①. Établir l’expression de $t_{air}$ en fonction de $v_{0y}$ et de $g$. En déduire que l’expression du temps de vol dans l’air d’une balle s’écrit :
$$t_{air}=\sqrt{\frac{8H}{g}}$$

Q11. Calculer la valeur de $t_{air}$ en utilisant la valeur de $H$ obtenue par lecture graphique de la figure 2a. Commenter.

Le maréchal-ferrant est un artisan spécialisé dans le ferrage des chevaux ; il pose un fer sous chaque sabot du cheval afin de les protéger. Un fer à cheval doit être parfaitement adapté à la morphologie du sabot du cheval. Le fer est chauffé à une température d’environ 900 °C dans une forge pour être malléable. À l’aide d’un marteau, il est ensuite déformé pour s’ajuster à la forme du sabot.

Données :

• Température du fer à la sortie de la forge : ${\theta }_0=900$ °C ;
• Volume du fer à cheval : $V_{Fer}=104c{m}^3$ ;
• Masse volumique du fer : ${\rho }_{Fer}=7,87g\cdot c{m}^{-3}$ ;
• Surface extérieure du fer à cheval : $S=293c{m}^2$ ;
• Température ambiante extérieure : ${\theta }_{Ext}=15$ °C ;
• Capacité thermique massique du fer : $c_{Fer}=440J\cdot k{g}^{-1}\cdot K^{-1}$ ;
• Loi de Newton donnant l’expression du flux thermique reçu par le système {fer à cheval}, de température $\theta$ en provenance de l’air extérieur, de température ${\theta }_{Ext}$ :
  $$\Phi =h\cdot S\cdot ({\theta }_{Ext}-\theta )$$
  avec $h$ le coefficient de transfert thermique surfacique :
  • dans l’air : $h_{air}=14W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}$ ;
  • dans l’eau froide : $h_{eau}=360W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}$.

1. Chauffage du fer

Lors du chauffage du fer à cheval, sa température passe de la température ambiante ${\theta }_{Ext}=15$ °C à ${\theta }_0=900$ °C.

Q1. Déterminer la valeur de la masse $m_{Fer}$ du fer à cheval.
Q2. Calculer la variation d’énergie interne $\Delta U$ du fer à cheval lors de cette étape.
Q3. Interpréter au niveau microscopique la variation d’énergie interne $\Delta U$ du fer à cheval.

2. Refroidissement du fer

Lorsque le fer est à 900 °C, le maréchal-ferrant le sort de la forge et le façonne pendant une minute environ. Il s’installe ensuite près du cheval (environ une minute supplémentaire). Le fer est alors posé quelques secondes sur le sabot pour vérification, puis refroidi dans l'eau.

2.1. Refroidissement à l’air libre

On considère que les transferts thermiques suivent la loi de Newton.

Q4. Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour le système étudié entre les instants $t$ et $t+\Delta t$. En déduire que l’équation différentielle régissant l’évolution de la température du fer à cheval peut s’écrire sous la forme :
$$\frac{d\theta }{dt}+\frac{\theta }{\tau }=\frac{{\theta }_{Ext}}{\tau }\text{avec}\tau =\frac{m_{Fer}\cdot c_{Fer}}{h_{air}\cdot S}$$
Dans ces conditions $\tau =880s$. L’équation admet pour solution : $\theta (t)=({\theta }_0-{\theta }_{Ext})\cdot e^{-t/\tau }+{\theta }_{Ext}$.

Q5. Vérifier que la fonction proposée $\theta (t)$ est bien solution de l’équation différentielle précédente.
Q6. Calculer la valeur de la température du fer au moment où le maréchal-ferrant le pose sur le sabot (après 2 minutes à l'air libre). Commenter.

2.2. Refroidissement dans l’eau avant la pose

Pour accélérer le refroidissement, le maréchal-ferrant plonge le fer à 600 °C dans de l’eau à 15 °C.

Q7. Estimer la valeur de la durée nécessaire pour que le fer soit refroidi à une température ${\theta }_{finale}=40$ °C.
Q8. Dans la réalité, 20 secondes suffisent pour refroidir le fer dans de l’eau à 15 °C. Commenter.

Le circuit électrique d’un défibrillateur cardiaque peut être modélisé de façon simplifiée par le circuit représenté en figure 1 contenant :

• un circuit de charge constitué de l’association en série d’un générateur de tension $E$, d’un conducteur ohmique de résistance $r$ et d’un condensateur de capacité $C$ ;
• un circuit de décharge constitué du condensateur chargé et d’un conducteur ohmique de résistance $R$ équivalente à celle du thorax du patient ;
• un interrupteur à deux positions (1 ou 2).

Q1. Indiquer dans quelle position est basculé l’interrupteur pour réaliser la charge du condensateur.

Q2. À l’aide de la loi des mailles, montrer que l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension $u_C(t)$ lors de sa charge est :
$$r\cdot C\cdot \frac{d{u}_C(t)}{dt}+u_C(t)=E$$

Q3. Vérifier que la solution est $u_C(t)=E\times (1-e^{-t/{\tau }_{charge}})$ en précisant l’expression et l’unité de la constante ${\tau }_{charge}$.

Q4. Tracer l’allure de la courbe $u_C(t)$ lors de la charge, en précisant les valeurs à $t=0$ et au bout d’un temps très long.

Q5. Montrer qu’à la date $t_1=5\times {\tau }_{charge}$, la tension $u_C(t)$ a atteint 99 % de sa valeur finale.

On s’intéresse maintenant à la décharge ($R=10k\Omega$, $C=1,5\mu F$). La courbe expérimentale est en ANNEXE.

Q6. Déterminer graphiquement l’instant $t_2$ où l’interrupteur a été basculé de la position 1 à la position 2.

Q7. Évaluer graphiquement le temps caractéristique de décharge ${\tau }_{graph}$ sur l'ANNEXE. Commenter.

Données constructeur :

• durée totale de charge : moins de 10 s ;
• durée de délivrance du choc : moins de 4 s ;
• tension appliquée : environ 2 000 V ;
• capacité $C=170\mu F$.

Q8. Sachant que la résistance du corps est comprise entre $50\Omega$ et $150\Omega$, estimer la durée nécessaire pour que la décharge soit considérée comme totale. Commenter.