Bac 2022 Physique-chimie : sujet et corrigé

Ingenuity est un petit hélicoptère - comparable à un drone - d'un peu moins de deux kilogrammes, développé par l'agence spatiale américaine, la NASA. Il a été expérimenté sur le sol de la planète Mars au cours de la mission Mars 2020 pour tester ses capacités dans le domaine de la reconnaissance optique du sol martien.

Les défis technologiques sont grands :

• l’atmosphère de Mars est peu dense, ce qui limite la portance* des hélices ;
• les délais de communication entre la Terre et Mars interdisent le contrôle de l'hélicoptère en temps réel depuis la Terre, et imposent un système de pilotage automatique programmable à distance.

Le premier vol d’Ingenuity a été réalisé avec succès le lundi 19 avril 2021. Durant ce test d'une durée de 39 secondes, l'hélicoptère s'est élevé de 3 mètres puis a effectué un vol stationnaire avant de se reposer. Une dizaine de vols de plus en plus complexes ont suivi.

* Pour pouvoir voler, les pâles en rotation de l’hélicoptère génèrent une force verticale ascendante appelée « portance ».

Données :

• Caractéristiques techniques de l’hélicoptère Ingenuity (figure 1) :
  • Rayon d'action : 600 mètres
  • Masse : 1,8 kg (dont 273 g de batteries)
  • Dimensions : Fuselage : $13,6\times 19,5$ cm ; Diam. rotors : 1,21 m
  • Propulsion : Rotors
  • Source d'énergie : Cellules solaires
  • Accumulateurs : Batteries lithium-ion
  • Autre caractéristique : Plafond vol : 5 mètres ; Durée vol : 90 secondes
• Pression atmosphérique de l’air sur Terre : $P=1,013\times 10^5$ Pa ;
• Masse molaire moyenne de l’air sur Terre : $M=29,0\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;
• Constante des gaz parfaits : $R=8,314\text{ J}\cdot {\text{K}}^{-1}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;
• Conversion d’unité de température : $T(K)=T{(}^{\circ }C)+273,15$ ;
• Intensité de pesanteur sur Mars : $g_M=3,7\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ ;
• Intensité de pesanteur sur Terre : $g_T=9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ ;
• Pour un gaz supposé parfait, on a la relation : $PV=nRT$, avec $P$ en pascal (Pa), $V$ en $m^3$, $n$ en mol, $R$ (donné ci-dessus) et $T$ en kelvin (K).

PARTIE A : L’atmosphère de Mars

L’hélicoptère Ingenuity est fortement handicapé dans l’atmosphère peu dense de Mars. En effet, la densité de l’atmosphère est 100 fois plus faible sur Mars que sur Terre.

A.1. En supposant que l’air est un gaz parfait, montrer que la masse volumique de l’air (en $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$) sur Terre ${\rho }_{Terre}$ vérifie la relation :
$${\rho }_{Terre}=\frac{PM}{RT}$$

A.2. Calculer sa valeur pour une température de l’air de 15 °C.

La masse volumique de l’atmosphère sur Mars est égale à 1 % de celle de l’air sur Terre.

A.3. En déduire la valeur de la masse volumique de l’atmosphère sur Mars ${\rho }_{Mars}$ à la température de 15 °C.

A.4. Sachant que la portance est proportionnelle à la masse volumique de l’atmosphère dans laquelle se trouve l’engin, expliquer pourquoi c’est un « défi technologique » de faire voler un hélicoptère sur Mars.

PARTIE B : La phase de décollage

Pour pouvoir décoller, la portance doit au moins compenser le poids de l’hélicoptère.
Les figures suivantes, sur Terre (figure 2) et sur Mars (figure 3), représentent l’évolution de la portance de l’hélicoptère Ingenuity en fonction de la vitesse de rotation des pâles $N$ en tours par minute (tpm).

B.1. Déterminer la valeur de la vitesse de rotation minimale des pâles de Ingenuity sur Terre et sur Mars afin que l’hélicoptère décolle. Commenter le résultat.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

PARTIE C : Une phase d’atterrissage délicate

La phase la plus délicate du vol de l’hélicoptère est l’atterrissage, du fait des turbulences qui peuvent déséquilibrer l’engin. La solution retenue est d’arrêter la propulsion à un mètre au-dessus du sol, et de laisser l’hélicoptère atteindre le sol en chute libre.
On suppose dans l’étude qui suit que l’hélicoptère Ingenuity est en vol stationnaire – c’est-à-dire à vitesse nulle – à une altitude $H=1,0$ m au-dessus du sol martien lorsque ses pâles cessent de tourner. Il chute alors verticalement.
Soit un axe $Oz$ vertical, orienté positivement vers le haut et dont l’origine $O$ est confondue avec le sol (figure 4). On note ${\vec{g}}_M$ le champ de pesanteur sur Mars.

C.1. Appliquer la deuxième loi de Newton afin d’exprimer la coordonnée $a_z(t)$ du vecteur accélération de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre.

C.2. En déduire, dans le repère défini, la coordonnée $v_z(t)$ du vecteur vitesse de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre.

C.3. Déduire des résultats précédents l’équation horaire $z(t)$ du mouvement de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre.

C.4. Déterminer la durée $t_{sol}$ au bout de laquelle l’hélicoptère atteindra le sol martien.

C.5. Déterminer la vitesse $v_{sol}$ de l’hélicoptère au moment de l’impact sur le sol martien.

Lors des essais préparatoires réalisés sur Terre, des vitesses d’impact de l’ordre de grandeur de $16\text{ km}\cdot {\text{h}}^{-1}$ ont été enregistrées. Le train d’atterrissage d’Ingenuity a été conçu pour résister à de telles vitesses.

C.6. Indiquer, en justifiant, si le train d’atterrissage est assez résistant pour une utilisation sur la planète Mars.

PARTIE D : Mesure de l’altitude au cours d’un vol

Les capteurs embarqués par Ingenuity comprennent une caméra de navigation noir et blanc, une caméra couleur haute résolution, une centrale à inertie, un inclinomètre et un altimètre. Ce dernier capteur permet à Ingenuity de connaître en temps réel son altitude par rapport au sol.
Un groupe d’élèves de lycée souhaite réaliser un altimètre pour un drone à l’aide d’un condensateur dont la capacité $C$ varie en fonction de l’altitude $z$ à laquelle se trouve le drone.
Afin d’étudier les caractéristiques du condensateur choisi, on le place dans le circuit représenté sur la figure 5 :

• l’interrupteur est d’abord en position 1 : le condensateur se charge sous la tension $E$ ;
• lorsque la charge est terminée, l’interrupteur bascule en position 2 : le condensateur de capacité $C$ se décharge alors dans la résistance $R=1,0\text{ k}\Omega$.

On se place dans un premier temps dans le cas où le drone, donc le condensateur, se trouve au niveau du sol.
Le graphique de la figure 6 représente l’évolution de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur au cours de la décharge en fonction du temps.

D.1. Montrer que l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension aux bornes du condensateur lors de sa décharge (interrupteur en position 2) s’écrit :
$$\frac{d{u}_C}{dt}+\frac{u_C}{RC}=0$$

D.2. Montrer que la solution de cette équation différentielle s’écrit $u_C(t)=E\times e^{-\frac{t}{\tau }}$ où $\tau$ est le temps caractéristique de cette décharge à exprimer fonction de $R$ et $C$.

D.3. Déterminer, à l’aide du graphe de la figure 6, et en justifiant la réponse :
D.3.1. la valeur de la tension $E$ ;
D.3.2. la valeur du temps caractéristique $\tau$.

D.4. En déduire que la capacité du condensateur au niveau du sol vaut environ $C_0=100\mu \text{F}$.

Lorsque le drone monte, la pression atmosphérique diminue et provoque une augmentation de l’épaisseur $e$ entre les armatures comme illustré sur les figures 7 et 8 suivantes.

On rappelle que la capacité d’un condensateur plan constitué de deux plaques séparées par un isolant s’exprime par la relation :
$$C=\frac{\epsilon S}{e}$$

• $C$ : capacité du condensateur (F)
• $\epsilon$ : permittivité diélectrique de l’isolant ($\text{F}\cdot {\text{m}}^{-1}$)
• $S$ : surface en regard de chaque armature ($m^2$)
• $e$ : distance entre les deux plaques (m)

D.5. Expliquer comment évolue la capacité $C$ du condensateur lorsque le drone s’éloigne du sol. On supposera que la surface des armatures reste constante.

D.6. Estimer la valeur de la capacité $C$ du condensateur à 5,0 m du sol sachant que la variation de pression par rapport au sol provoque une augmentation de l’épaisseur $e$ de 10 %.
On rappelle que la capacité $C_0$ du condensateur au niveau du sol est égale à $100\mu \text{F}$.

L’acide benzoïque $C_6{H}_{5}COOH$ (E210) et le benzoate de sodium $C_6{H}_{5}COONa$ (E211) sont utilisés dans l’industrie comme conservateurs alimentaires pour leurs propriétés fongicides et antibactériennes. Ils sont présents en particulier dans de nombreuses boissons « light ».

Données :

• Couples acide-base à 25 °C :
  • $C_6{H}_{5}COOH/C_6{H}_{5}CO{O}^{-}$ : $p{K}_{A1}=4,2$
  • $H_{2}O/H{O}^{-}$ : $p{K}_{A2}=14$
• Solubilité de l’acide benzoïque (masse maximale que l’on peut dissoudre dans un litre de solution) : $s_{C_6{H}_{5}COOH}=2,4\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$ à 25 °C

PARTIE A : Réaction de l’acide benzoïque avec l’eau

On introduit une masse $m_0$ d’acide benzoïque dans de l’eau distillée afin d’obtenir un volume $V_0=100$ mL de solution. Après dissolution totale, on obtient une solution aqueuse d’acide benzoïque, notée $S_0$, de concentration $C_0=1,0\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$. Le pH-mètre indique 3,1 pour le pH de cette solution.

A.1. Calculer la masse $m_0$ qu’il faut peser pour préparer la solution $S_0$. La solution est-elle saturée ?

A.2. Écrire l’équation de la réaction de l’acide benzoïque avec l’eau.

A.3. Tracer le diagramme de prédominance du couple acide benzoïque/ion benzoate et préciser quelle est l’espèce prédominante dans la solution $S_0$.

A.4. Compléter le tableau d’avancement de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE (p18/18) correspondant à cette transformation chimique, en fonction de $C_0$, $V_0$ et $x_{\acute{e}q}$, avancement à l’état d’équilibre.

A.5. Calculer l’avancement maximal $x_{max}$.

A.6. Montrer que le taux d’avancement final $\tau$ s’écrit $\tau =\frac{[H_3{O}^{+}{]}_{\acute{e}q}}{C_0}$, puis le calculer. Ce résultat est-il en accord avec la réponse à la question A.3. ?

PARTIE B : La synthèse de l’acide benzoïque

L’acide benzoïque peut être préparé par synthèse en laboratoire selon le protocole suivant :

Étape 1 : Formation de l’acide benzoïque
Après avoir versé dans un ballon bicol posé sur un valet et sous la hotte un volume $V_1=2,0$ mL d'alcool benzylique $C_6{H}_{5}C{H}_{2}OH$ puis bouché l’ensemble, on ajoute environ 20 mL de soude à l’aide d’une éprouvette graduée. On introduit ensuite quelques grains de pierre ponce dans le ballon pour réguler l’ébullition lors du chauffage. On réalise alors un montage à reflux.
On verse lentement une solution aqueuse de permanganate de potassium $(K_{(aq)}^{+}+Mn{O}_{4(aq)}^{-})$ dans le ballon, on porte le mélange à ébullition douce pendant 10 minutes environ. On ajoute quelques millilitres d'éthanol afin d'éliminer le permanganate de potassium, réactif en excès, puis on refroidit le ballon et son mélange.

Étape 2 : Cristallisation de l’acide benzoïque
On filtre le mélange obtenu, puis on recueille un filtrat limpide et incolore. Le filtrat est ensuite versé dans un bécher et refroidi dans la glace. On ajoute prudemment 8,0 mL d'acide chlorhydrique concentré goutte à goutte et on observe la formation du précipité blanc d'acide benzoïque ($C_6{H}_{5}C{O}_{2}H$). On filtre et on rince avec un peu d'eau bien froide.
Sur une coupelle préalablement pesée dont la masse est $m=140,4$ g, on récupère les cristaux d'acide benzoïque. Après séchage, on pèse l’ensemble et on trouve une masse $m’=141,8$ g.

B.1. À propos du mode opératoire
B.1.1. Au vu du mode opératoire décrit ci-dessus, sur quels facteurs cinétiques se base-t-on pour réaliser plus rapidement cette synthèse.
B.1.2. Préciser quels sont les avantages du chauffage à reflux du mélange réactionnel.

B.2. Étude de la réaction de synthèse de l’acide benzoïque
L’oxydation se fait en milieu basique. L’équation de la réaction d’oxydoréduction qui se produit entre l’alcool benzylique et les ions permanganate s’écrit :
$$3C_6{H}_{5}C{H}_{2}O{H}_{(l)}+4Mn{O}_{4(aq)}^{-}\to 3C_6{H}_{5}C{O}_{2(aq)}^{-}+4H_2{O}_{(l)}+4Mn{O}_{2(s)}+H{O}_{(aq)}^{-}$$

B.2.1. Déterminer la quantité de matière $n_1$ d’alcool benzylique contenu dans la prise d’essai de 2,0 mL.

B.2.2. Lors de la cristallisation, le passage de l’ion benzoate à l’acide benzoïque se fait selon l’équation chimique :
$$C_6{H}_{5}C{O}_{2(aq)}^{-}+H_3{O}_{(aq)}^{+}\rightleftarrows C_6{H}_{5}C{O}_2{H}_{(s)}+H_2{O}_{(l)}$$
Calculer la quantité de matière théorique d’acide benzoïque que l’on pourrait obtenir si la transformation était totale, sachant que l’alcool benzylique est le réactif limitant.

B.2.3. En déduire le rendement $r$ de la synthèse effectuée.

L’objectif de cet exercice est de déterminer la concentration en masse en ion chlorure d’un prélèvement d’eau afin de prévenir une éventuelle intrusion d’eau marine dans la nappe souterraine.

A. L’eau salée de la mer Méditerranée

Des classes de concentrations peuvent être définies en fonction des teneurs en ions chlorure :

A.1. Citer la valeur de la concentration minimale en masse $c_m$ en ion chlorure $C{l}_{(aq)}^{-}$ à partir de laquelle on peut considérer que l’eau souterraine est contaminée par une intrusion d’eau de mer la rendant non potable.

A.2. Données :
Masses molaires atomiques (en $g\cdot mo{l}^{-1}$) :

L’équation de la réaction modélisant la dissolution du chlorure de magnésium $MgC{l}_{2(s)}$ dans l’eau est : $MgC{l}_{2(s)}\to M{g}_{(aq)}^{2+}+2C{l}_{(aq)}^{-}$.

A.2.1. Sachant que la concentration en quantité de matière de chlorure de magnésium $MgC{l}_{2(s)}$ dans l’eau de mer vaut $c=4,0\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$, déterminer la concentration en quantité de matière en ions chlorure $C{l}_{(aq)}^{-}$ apportés par $MgC{l}_{2(s)}$, notée $[C{l}^{-}]$.

A.2.2. La concentration en masse en ions chlorure $C{l}_{(aq)}^{-}$ apportés par le chlorure de sodium $NaC{l}_{(s)}$ dans l’eau a pour valeur $c_m=16,5\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$. Déterminer alors la concentration totale en masse en ions chlorure dans la mer Méditerranée.

B. Titrage des ions chlorure de l’eau douce des eaux souterraines

Un prélèvement d’eau de 50,0 mL est effectué au niveau du pompage. On titre ensuite les ions chlorure de cette solution d’eau par une solution de nitrate d’argent $(A{g}_{(aq)}^{+}+N{O}_{3(aq)}^{-})$ de concentration en quantité de matière $1,00\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
Le titrage est suivi par conductimétrie. L’équation de la réaction support du titrage est :
$$A{g}_{(aq)}^{+}+C{l}_{(aq)}^{-}\to AgC{l}_{(s)}$$

Données :
Conductivités molaires ioniques à 25°C ($S\cdot m^2\cdot mo{l}^{-1}$) :

B.1. Identifier, parmi les trois courbes I, II et III proposées sur le graphique de la figure 2, celle qui représente l’évolution simulée de la conductivité $\sigma$ du mélange en fonction du volume $V$ de solution de nitrate d’argent versé. Justifier votre réponse.

B.2. Le volume versé à l’équivalence est $V_{eq}=13,0$ mL. En déduire si l’eau du prélèvement peut être utilisée pour l’alimentation en eau potable.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti.

C. Modélisation d’un titrage

Ce titrage peut être modélisé en utilisant le langage de programmation Python (extrait en figure 3). L’objectif est de visualiser l’évolution des quantités de matière des ions $A{g}_{(aq)}^{+}$, des ions $C{l}_{(aq)}^{-}$ et du produit $AgC{l}_{(s)}$ au cours du titrage (figure 4).

C.1. Les quantités de matière nA, nB et nC, mentionnées et calculées aux lignes 21, 22, 23, 28, 29 et 30 du programme Python (figure 3), sont représentées sur la figure 4. Grâce à cette dernière et avec justification, identifier les espèces chimiques A, B et C.

C.2. Compléter la ligne 15 du programme python de la figure 3 afin qu’il calcule la concentration en quantité de matière en ions chlorure.

Une pile à méthanol fait partie de la famille des piles à combustibles. Elle est constituée de deux électrodes en platine, au niveau desquelles se produisent une réaction d’oxydation et une réaction de réduction. L’une des électrodes est alimentée par du dioxygène puisé dans l’air, et l’autre est alimentée par un combustible, ici le méthanol en solution aqueuse (figure 1).

Données :

• Masse molaire du méthanol : $M_{m\acute{e}thanol}=32,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.
• Masse volumique du méthanol : ${\rho }_{\acute{e}thanol}=0,792\text{ g}\cdot {\text{mL}}^{-1}$.
• Composition volumique de l’air : 20 % de dioxygène et 80 % de diazote.
• Volume molaire du dioxygène dans les conditions de l’expérience : $V_m=24,5\text{ L}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.
• Constante de Faraday : $F=9,65\times 10^4\text{ C}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.
• Le rendement $r$ d’une pile relie sa capacité électrique réelle $Q_{max}^{\prime }$ à sa capacité électrique théorique $Q_{max}$ par la relation : $Q_{max}^{\prime }=r\times Q_{max}$.
• Lorsqu’on associe des piles en série, leurs capacités électriques s’ajoutent.

PARTIE A : Étude du fonctionnement de la pile au méthanol

Les demi-équations traduisant les réactions au niveau des électrodes sont :

• Électrode 1 : $C{H}_{3}O{H}_{(aq)}+H_2{O}_{(l)}=C{O}_{2(g)}+6e^{-}+6H_{(aq)}^{+}$
• Électrode 2 : $O_{2(g)}+4e^{-}+4H_{(aq)}^{+}=2H_2{O}_{(l)}$

A.1.1. Identifier quelle électrode constitue l’anode et quelle électrode constitue la cathode dans la pile au méthanol.

A.1.2. Indiquer sur le schéma du circuit étudié donné dans l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE (p18/18), les pôles de la pile ainsi que le sens du courant électrique.

A.1.3. Expliquer le rôle de la membrane protonique dans la pile au méthanol.

A.1.4. Indiquer le sens de circulation des porteurs de charge à l’intérieur et à l’extérieur de la pile sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE (p18/18).

A.2. Écrire l’équation de la réaction chimique modélisant le fonctionnement de la pile.

La pile est alimentée avec un volume $V=5,0$ mL d’une solution aqueuse de méthanol à 10 % en volume et avec de l’air ambiant. Le compartiment qui contient l’air est constamment en contact avec l’air ambiant. La transformation chimique au sein de la pile est considérée comme totale.

A.3.1. Montrer que la quantité de matière de méthanol introduite dans la pile au méthanol a pour valeur $n(C{H}_{3}OH)=1,2\times 10^{-2}$ mol.

A.3.2. Justifier que le dioxygène est le réactif en excès.

A.3.3. Déterminer le volume d’air $V(air)$ consommé lors du fonctionnement de la pile jusqu’à son usure.

PARTIE B : Alimentation d’un circuit comportant un petit ventilateur

Des élèves cherchent à faire fonctionner un petit ventilateur en associant deux piles en série (figure 2). Ils mesurent alors que l’intensité du courant qui circule vaut $I=450$ mA. Chacune des piles a un rendement de 70 %.

B.1. Calculer la capacité électrique théorique de la pile au méthanol étudiée dans la partie A.

B.2. Les élèves souhaitent faire fonctionner le ventilateur pendant au moins une heure. Expliquer en argumentant la réponse s’ils y parviendront.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti.