Bac 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.
Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.
On sait que :

• 60 % des clients choisissent un bateau à voile ; parmi eux, 20 % prennent l'option PILOTE.
• 42 % des clients prennent l'option PILOTE.
  On choisit au hasard un client et on considère les événements :
• $V$ : « le client choisit un bateau à voile » ;
• $L$ : « le client prend l'option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure.
2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.
3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à 0,30.
4. En déduire $P_{\bar{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé.
5. Un client a pris l'option PILOTE. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à 0,01 près.

Partie B
Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à 0,12. Cette probabilité n'est que de 0,005 si le client prend l'option PILOTE.
On considère un client. On note $A$ l'événement : « son bateau subit une avarie ».

1. Déterminer $P(L\cap A)$ et $P(\bar{L}\cap A)$.
2. L'entreprise loue 1000 bateaux. À combien d'avaries peut-elle s'attendre ?

Partie C
On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est égale à 0,42.
On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l'échantillon prenant l'option PILOTE.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.
2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'au moins 15 clients prennent l'option PILOTE.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
$$u_{n+1}=5u_n-4n-3.$$

1. a. Démontrer que $u_1=12$.
   b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
   c. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $(u_n)$.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $$u_n\ge n+1.$$
   b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
   $$v_n=u_n-n-1.$$
   a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
   b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
   $$u_n=2\times 5^n+n+1.$$
   d. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
4. On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\ge 10^7$.

def suite():
    u = 3
    n = 0
    while ... :
        u = ...
        n = n + 1
    return n

a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+1)e^x$.
   Une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est définie par :
   a. $F(x)=1+x{e}^x$
   b. $F(x)=(1+x)e^x$
   c. $F(x)=(2+x)e^x$
   d. $F(x)=(\frac{x^2}{2}+x)e^x$

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

2. On considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
   $(d_1)\{\begin{array}{l}x=2+r\\ y=1+r\\ z=-r\end{array}(r\in \mathbb{R});(d_2)\{\begin{array}{l}x=1-s\\ y=-1+s\\ z=2-s\end{array}(s\in \mathbb{R})$.
   Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont :
   a. sécantes.
   b. strictement parallèles.
   c. confondues.
   d. non coplanaires.

3. On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x-y+z-1=0$.
   On considère la droite $(\Delta )$ dont une représentation paramétrique est :
   $(\Delta )\{\begin{array}{l}x=2+u\\ y=4+u\\ z=1-u\end{array}(u\in \mathbb{R})$.
   La droite $(\Delta )$ est :
   a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
   b. incluse dans le plan $(P)$.
   c. strictement parallèle au plan $(P)$.
   d. orthogonale au plan $(P)$.

4. On considère le plan $(P_1)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1=0$, ainsi que le plan $(P_2)$ dont une équation cartésienne est $2x+y+z-6=0$.
   Les plans $(P_1)$ et $(P_2)$ sont :
   a. sécants et perpendiculaires.
   b. confondus.
   c. sécants et non perpendiculaires.
   d. strictement parallèles.

5. On considère les points $E(1;2;1)$, $F(2;4;3)$ et $G(-2;2;5)$.
   On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l'angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
   a. $\alpha =90^{\circ }$
   b. $\alpha >90^{\circ }$
   c. $\alpha =0^{\circ }$
   d. $\alpha \approx 71^{\circ }$

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$ par :
$$f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln (x).$$
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$. On note $f^{\prime }$ sa dérivée et $f^{\prime \prime }$ sa dérivée seconde.

1. a. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en 0 est égale à 0.
   b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
2. Déterminer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$.
3. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$ :
   $$f^{\prime \prime }(x)=4(1-\ln (x)).$$
   b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
   c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f^{\prime }$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
   (On admettra que ${\lim }_{x\to 0,x>0}{f}^{\prime }(x)=2$ et que ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=-\infty$.)
4. a. Montrer que l'équation $f^{\prime }(x)=0$ admet dans l'intervalle $]0;+\infty [$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
   b. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
5. a. En utilisant l'égalité $f^{\prime }(\alpha )=0$, démontrer que :
   $$\ln (\alpha )=\frac{4\alpha +1}{2\alpha }.$$
   En déduire que $f(\alpha )={\alpha }^2+\alpha$.
   b. En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.