Bac 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

• si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90\%$ des cas le jour suivant ;
• si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $R_n$ l'événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
• $p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0=0,6$.

1. Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

(figure : voir le sujet original)

2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_{n+1}=0,6p_n+0,3$.
3. On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=p_n-0,75$.
   a. Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n=0,75-0,15\times 0,6^n$.
   c. En déduire que la suite $(p_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
   d. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.

Partie B
Après de nombreuses séances d'entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies.
3. Calculer $P(X\ge 9)$, à $10^{-3}$ près.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$.
On considère :

• le point $A(1;-1;-1)$ ;
• le plan ${\mathcal{P}}_1$ d’équation : $5x+2y+4z=17$ ;
• le plan ${\mathcal{P}}_2$ d’équation : $10x+14y+3z=19$ ;
• la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :
  $$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-t\\ z=3-2t\end{array}\text{ ouˋ }t\text{ deˊcrit }\mathbb{R}.$$

1. Justifier que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ ne sont pas parallèles.
2. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$.
3. a. Vérifier que $A$ n’appartient pas à ${\mathcal{P}}_1$.
   b. Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
4. Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1+2t;-t;3-2t)$. On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $A{M}^2$, soit $f(t)=A{M}^2$.
   a. Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$
   b. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3;-1;1)$.
5. On note $H$ le point de coordonnées $(3;-1;1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A.
Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f^{\prime }$ et de sa dérivée seconde $f^{\prime \prime }$.

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point d’abscisse 4.
3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe $C_1$.

Partie B.
Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x)=\frac{4}{1+e^{-kx}}$$

1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
2. Prouver que $g^{\prime }(0)=k$.
3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0.

Capture d'écran de calcul formel :

1. $g(x)=4/(1+e^{-kx})\to g(x)=\frac{4}{e^{-kx}+1}$
2. $Simplifier(g^{\prime \prime }(x))\to g^{\prime \prime }(x)=-4e^{kx}(e^{kx}-1)\frac{k^2}{(e^{kx}+1{)}^3}$

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n+1}$ est bornée.
2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
4. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln (x^2+2x+2)$.
   Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;1]$.
5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

def mystere(L) :
    M = L[0]
    #On initialise M avec le premier élément de la liste L
    for i in range(len(L)) :
        if L[i] > M :
            M = L[i]
    return M

Affirmation : L’exécution de mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5]) renvoie 7.