Bac 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes :

• ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
• ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

• $21\%$ des utilisateurs ont moins de $35$ ans. Parmi eux, $68\%$ utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
• parmi les $35$ ans ou plus, seuls $20\%$ utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l'exercice on considère les événements suivants :

• $J$ : « la personne interrogée a moins de $35$ ans » ;
• $T$ : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
• $\bar{J}$ et $\bar{T}$ sont les événements contraires de $J$ et $T$.

Partie A

1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$ ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
2. Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de $35$ ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que $30\%$ d'entre elles ont moins de $35$ ans.
On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$ personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.
$X$ représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$ ans.
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
2. Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$ ans.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
On considère :

• $d_1$ la droite passant par le point $H(2;3;0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ ;
• $d_2$ la droite de représentation paramétrique :
  $\{\begin{array}{l}x=2k-3\\ y=k\\ z=5\end{array}$ où $k$ décrit $\mathbb{R}$.

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

1. a. Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.
   b. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
   c. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
   d. Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?

2. a. Vérifier que le vecteur $\vec{w}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
   b. On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
   On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
   $5x+4y-z-22=0$.
   Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3;3;5)$.

3. Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par :
   $\{\begin{array}{l}x=-r+3\\ y=2r+3\\ z=3r+5\end{array}$ où $r$ décrit $\mathbb{R}$.
   a. Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
   b. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x$ est convexe.

2. Affirmation : L'équation $(2e^x-6)(e^x+2)=0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\mathbb{R}$.

3. Affirmation :
   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^{2x}-1}{e^x-x}=0.$$

4. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6x+5)e^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=(2x+1)e^{3x}+4$.
   Affirmation : $F$ est la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui prend la valeur $5$ quand $x=0$.

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.
   On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.

def mystere(L) :
    S = 0
    for i in range(len(L)) :
        S = S + L[i]
    return S / len(L)

Affirmation : L'exécution de mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) renvoie $50$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=0,9u_n-0,3$.

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=2\times 0,9^n-3$.
   b. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $-3<u_n\le -1$.
   c. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
   d. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge et préciser sa limite.

2. On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3;-1]$ par :
   $g(x)=\ln (0,5x+1,5)-x$.
   a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$)

b. En déduire que l'équation $g(x)=0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.

3. Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$, par :
   $v_n=\ln (0,5u_n+1,5)$.
   a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison $\ln (0,9)$.
   b. Soit $n$ un entier naturel.
   Démontrer que $u_n=v_n$ si, et seulement si $g(u_n)=0$.
   c. Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k\in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k=\alpha$.
   d. En déduire qu'il n'existe aucun rang $k\in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k=u_k$.