Brevet 2018 Mathématiques : sujet et corrigé

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.
Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.

1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
   Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.

2. On considère que ce globe est composé d’un cylindre en cristal de diamètre 6 cm, surmonté d’une boule de cristal. Voir schéma ci-contre.
   Montrer qu’une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de $6371{\text{ cm}}^3$.

3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90% du volume total du trophée.
   A-t-elle raison ?

Rappels :

• volume d’une boule de rayon $R$ : $V=\frac{4}{3}\pi R^3$
• volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $V=\pi r^{2}h$

Parmi les nombreux polluants de l’air, les particules fines sont régulièrement surveillées.
Les PM10 sont des particules fines dont le diamètre est inférieur à 0,01 mm.
En janvier 2017, les villes de Lyon et Grenoble ont connu un épisode de pollution aux particules fines. Voici des données concernant la période du 16 au 25 janvier 2017 :

Données statistiques sur les concentrations journalières en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à Lyon.

• Moyenne : $72,5\mu {\text{g/m}}^3$
• Médiane : $83,5\mu {\text{g/m}}^3$
• Concentration minimale : $22\mu {\text{g/m}}^3$
• Concentration maximale : $107\mu {\text{g/m}}^3$

Relevés des concentrations journalières en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à Grenoble.

1. Laquelle de ces deux villes a eu la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier ?
2. Calculer l’étendue des séries des relevés en PM10 à Lyon et à Grenoble. Laquelle de ces deux villes a eu l’étendue la plus importante ? Interpréter ce dernier résultat.
3. L’affirmation suivante est-elle exacte ? Justifier votre réponse.
   « Du 16 au 25 janvier, le seuil d’alerte de $80\mu {\text{g/m}}^3$ par jour a été dépassé au moins 5 fois à Lyon ».

Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d’écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.

1. Quelle est la probabilité qu’il écoute du rap ?
2. La probabilité qu’il écoute du rock est égale à $\frac{7}{15}$.
   Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?
3. Alice possède 40 % de morceaux de rock dans son lecteur audio.
   Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d’écouter un morceau de rock ?

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.
Les points $C$, $B$ et $E$ sont alignés.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le triangle $BDC$ est rectangle en $B$.

1. Montrer que la longueur $BD$ est égale à 4 cm.
2. Montrer que les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
3. Sophie affirme que l’angle $\widehat{BFE}$ est un angle droit. A-t-elle raison ?
4. Max affirme que l'angle $\widehat{ACD}$ est un angle droit. A-t-il raison ?

Voici un programme de calcul.

• Choisir un nombre
• Multiplier ce nombre par 4
• Ajouter 8
• Multiplier le résultat par 2

1. Vérifier que si on choisit le nombre $-1$, ce programme donne 8 comme résultat final.
2. Le programme donne 30 comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?
   Dans la suite de l’exercice, on nomme $x$ le nombre choisi au départ.
3. L’expression $A=2(4x+8)$ donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre $x$ donné.
   On pose $B=(4+x{)}^2-x^2$.
   Prouver que les expressions $A$ et $B$ sont égales pour toutes les valeurs de $x$.
4. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

• Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de $x$.
• Affirmation 2 : Si le nombre $x$ choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8.

Les longueurs sont en pixels.
L’expression « s’orienter à 90 » signifie que l’on s’oriente vers la droite.
On donne le programme suivant :

(Script principal)

1. quand [drapeau vert] est cliqué
2. aller à x: 0 y: 0
3. stylo en position d'écriture
4. s'orienter à 90
5. mettre [Longueur] à 300
6. Carré
7. Triangle
8. avancer de ([Longueur] / 6)
9. mettre [Longueur] à [......]
10. Carré
11. Triangle

(Bloc Carré)
définir Carré
répéter 4 fois
avancer de (Longueur)
tourner [gauche] de 90 degrés

(Bloc Triangle)
définir Triangle
répéter 3 fois
avancer de (Longueur)
tourner [gauche] de 120 degrés

1. On prend comme échelle 1 cm pour 50 pixels.
   a. Représenter sur votre copie la figure obtenue si le programme est exécuté jusqu’à la ligne 7 comprise.
   b. Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ?
2. On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-dessous qui possède un axe de symétrie vertical.
   Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure.
3. a. Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré ? Préciser le rapport de réduction.
   b. Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?

Le hand-spinner est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.
On donne au hand-spinner une vitesse de rotation initiale au temps $t=0$, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu’à l’arrêt complet du hand-spinner. Sa vitesse de rotation est alors égale à 0.
Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en seconde :

1. Le temps et la vitesse de rotation du hand-spinner sont-ils proportionnels ? Justifier.
2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
   a. Quelle est la vitesse de rotation initiale du hand-spinner (en nombre de tours par seconde) ?
   b. Quelle est la vitesse de rotation du hand-spinner (en nombre de tours par seconde) au bout d’1 minute et 20 secondes ?
   c. Au bout de combien de temps, le hand-spinner va-t-il s’arrêter ?
3. Pour calculer la vitesse de rotation du hand-spinner en fonction du temps $t$, notée $V(t)$, on utilise la fonction suivante :
   $$V(t)=-0,214\times t+V_{initiale}$$

• $t$ est le temps (exprimé en s) qui s’est écoulé depuis le début de rotation du hand-spinner
• $V_{initiale}$ est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le hand-spinner au départ.

a. On lance le hand-spinner à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule : $V(t)=-0,214\times t+20$. Calculer sa vitesse de rotation au bout de 30 s.
b. Au bout de combien de temps le hand-spinner va-t-il s’arrêter ? Justifier par un calcul.
c. Est-il vrai que, d’une manière générale, si l’on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.