Brevet 2018 Mathématiques : sujet et corrigé

Le tableau ci-dessous a été réalisé à l'aide d'un tableur.
Il indique le nombre d'abonnements Internet à haut débit et à très haut débit entre $2014$ et $2016$, sur réseau fixe, en France. (Sources : Arcep et Statistica)

1. Combien d'abonnements Internet à très haut débit, en millions, ont-ils été comptabilisés pour l'année $2016$ ?
2. Vérifier qu'en $2016$, il y avait $817000$ abonnements Internet à haut débit et à très haut débit de plus qu'en $2015$.
3. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 avant de la recopier vers la droite, jusqu'à la cellule D4 ?
4. En $2015$, seulement $5,3\%$ des abonnements Internet très haut débit utilisaient la fibre optique.
   Quel nombre d'abonnements Internet à très haut débit cela représentait-il ?

La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
On donne les informations suivantes :

• Le triangle $ADE$ a pour dimensions : $AD=7\text{ cm}$, $AE=4,2\text{ cm}$ et $DE=5,6\text{ cm}$.
• $F$ est le point de $[AD]$ tel que $AF=2,5\text{ cm}$.
• $B$ est le point de $[AD]$ et $C$ est le point de $[AE]$ tels que : $AB=AC=9\text{ cm}$.
• La droite $(FG)$ est parallèle à la droite $(DE)$.

1. Réaliser une figure en vraie grandeur.
2. Prouver que $ADE$ est un triangle rectangle en $E$.
3. Calculer la longueur $FG$.

Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher. Le schéma ci-contre représente le contenu de chacune des urnes.
On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :

• le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l'urne $D$ ;
• le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l'urne $U$.

Exemple : en tirant la boule ① de l'urne $D$ et ensuite la boule ⑤ de l'urne $U$, on forme le nombre $15$.

1. A-t-on plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair ?
2. a) Sans justifier, indiquer les nombres premiers qu'on peut former lors de cette expérience.
   b) Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à $\frac{1}{6}$.
3. Définir un événement dont la probabilité de réalisation est égale à $\frac{1}{3}$.

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.
Simon travaille sur un programme. Voici des copies de son écran :

Script principal :

• quand [drapeau vert] est cliqué
• aller à $x:-200$ $y:0$
• s'orienter à $90$
• effacer tout
• mettre la taille du stylo à $1$
• mettre [côté] à $40$
• répéter $4$ fois
  • carré
  • avancer de [côté]
  • ajouter à [côté] $20$

Bloc Carré :

• définir [carré]
• stylo en position d'écriture
• répéter $4$ fois
  • avancer de [côté]
  • tourner [gauche] de $90$ degrés
• relever le stylo

Information : L'instruction "s'orienter à $90$" signifie qu'on se dirige vers la droite.

1. Il obtient le dessin ci-contre (quatre carrés accolés de tailles croissantes).
   a) D'après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus petit carré dessiné ?
   b) D'après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus grand carré dessiné ?

2. Dans le script principal, où peut-on insérer l'instruction ajouter 2 à la taille du stylo de façon à obtenir le dessin ci-contre (où les contours des carrés deviennent de plus en plus épais) ?

3. On modifie maintenant le script principal de la façon suivante :

• [...]
• répéter $4$ fois
  • carré
  • avancer de [côté] + $30$
  • ajouter à [côté] $20$

Parmi les dessins ci-dessous, lequel obtient-on ?

• Dessin 1 : Quatre carrés séparés par des espaces vides, alignés sur leur base.
• Dessin 2 : Quatre carrés accolés par leurs coins inférieurs, mais décalés horizontalement.
• Dessin 3 : Quatre carrés séparés, de tailles croissantes, non accolés.

Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie dynamique pour construire une frise.
Il a construit un triangle $ABC$ isocèle en $C$ (motif ①) puis il a obtenu le losange $ACBD$ (motif ②).
Voici des captures d'écran de son travail.

1. Préciser une transformation permettant de compléter le motif ① pour obtenir le motif ②.
2. Une fois le motif ② construit, Gaspard a appliqué à plusieurs reprises une translation. Il obtient ainsi la frise ci-dessous.
   Préciser de quelle translation il s'agit.

Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée. Elle réalise le dessin ci-contre.
Pour faciliter l'écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.
La terrasse a la forme d'un prisme droit dont la base est le quadrilatère $ABCD$ et la hauteur est le segment $[CG]$.
$P$ est le point du segment $[AD]$ tel que $BCDP$ est un rectangle.

Dimensions données sur le schéma :

• $BC=8\text{ m}$
• $CD=5\text{ m}$
• $PD=0,27\text{ m}$
• $FG=0,15\text{ m}$ (correspondant à la hauteur du prisme au point $B$)

1. L'angle $\widehat{ABP}$ doit mesurer entre $1^{\circ }$ et $1,5^{\circ }$.
   Le projet de Madame Martin vérifie-t-il cette condition ?

2. Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse. Elle fait appel à une entreprise spécialisée.
   À l'aide des informations contenues dans le tableau ci-dessous, déterminer le montant de la facture établie par l'entreprise.

Information 1 : Distance entre l'entreprise et la maison de Madame Martin : $23\text{ km}$.
Information 2 : Formule du volume d'un prisme droit
$Volume{d}^{\prime }unprismedroit=Airedelabaseduprisme\times hauteurduprisme$
Information 3 : Conditions tarifaires de l'entreprise spécialisée

• Prix du $m^3$ de béton : $95\text{ €}$.
• Capacité maximale du camion-toupie : $6{\text{ m}}^3$.
• Frais de livraison : $5\text{ €}$ par km parcouru par le camion-toupie.
• L'entreprise facture les distances aller et retour (entreprise/lieu de livraison) parcourues par le camion-toupie.

Les trois questions suivantes sont indépendantes.

1. $A=2x(x-1)-4(x-1)$.
   Développer et réduire l'expression $A$.

2. Montrer que le nombre $-5$ est une solution de l'équation $(2x+1)(x-2)=63$.

3. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-3x+1,5$.
   a) Parmi les deux graphiques ci-dessous, quel est celui qui représente la fonction $f$ ?
   b) Justifier votre choix.

On considère la fenêtre de téléchargement ci-dessous.
[Image : Téléchargé : $9,7$ sur $115,2\text{ Mo}$ ($1,3\text{ Mo/s}$)]

Si la vitesse de téléchargement reste constante, faudra-t-il plus d'une minute et vingt-cinq secondes pour que le téléchargement se termine ?