Brevet 2021 Mathématiques : sujet et corrigé

Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019.

1. D’après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?
2. Déterminer l’étendue de cette série.
3. Quelle formule doit-on saisir en cellule N2 pour calculer la température moyenne annuelle ?
4. Vérifier que la température moyenne annuelle est $13,1$ °C.
5. La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de $11,9$ °C.
   Le pourcentage d’augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l’unité, est-il de : $7$ % ; $10$ % ou $13$ % ? Justifier la réponse.

Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L'année 2019 a enregistré $1,9$ million de visiteurs.

1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre $2$ millions de visiteurs ?
2. L'affirmation « Il y a eu environ $5200$ visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième. Il veut répartir les $126$ garçons et les $90$ filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
   a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $126$ et $90$
   b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres $126$ et $90$
   c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
4. Deux élèves de 3ème, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l’ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.
   Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien effectue le schéma ci-dessous (le schéma n’est pas à l’échelle), sur lequel les points A, E et B ainsi que les points A, D et C sont alignés.
   Calculer la hauteur BC de la Gyrotour.

Données du schéma :

• Les points A, D, C sont alignés.
• Les points A, E, B sont alignés.
• $AD=2$ m
• $DC=54,25$ m
• $ED=1,60$ m (taille de Marie)
• Les segments $[ED]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires à la droite $(AC)$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

PARTIE A :
Une urne contient $7$ jetons verts, $4$ jetons rouges, $3$ jetons bleus et $2$ jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne.

PARTIE B :
On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, dans laquelle :

• $\widehat{AOB}=36^{\circ }$
• le motif 11 est l’image du motif 1 par l’homothétie de centre O et de rapport 2.

Voici un programme de calcul :

• Choisir un nombre.
• Prendre le carré du nombre de départ.
• Ajouter le triple du nombre de départ.
• Soustraire 10 au résultat.

1. Vérifier que si on choisit 4 comme nombre de départ, on obtient 18
2. Appliquer ce programme de calcul au nombre $-3$
3. Vous trouverez ci-dessous un script, écrit avec scratch.
   Compléter sur l'ANNEXE page 8 les lignes 5 et 6 pour que ce script corresponde au programme de calcul.

1. quand [drapeau] est cliqué
2. demander [Choisis un nombre] et attendre
3. mettre [x] à (Réponse)
4. mettre [y] à ((x) * (x))
5. mettre [z] à ((y) + (... * ...))
6. mettre [Résultat] à (... - ...)
7. dire (regroupe [Le nombre final est] et (Résultat)) pendant (2) secondes

4. On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.
   a) On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
   b) Vérifier que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x+5)(x-2)$.
   c) Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre 0 à l’arrivée ?

La production annuelle de déchets par Français était de $5,2$ tonnes par habitant en 2007.
Entre 2007 et 2017, elle a diminué de $6,5$ %.

1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l’année 2007 ?
2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.
   Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d’un pavé droit et d’un prisme droit (la figure du composteur n’est pas à l’échelle). Le descriptif indique qu'il a une contenance d’environ $0,5$ m${}^3$. On souhaite vérifier cette information.

Données du composteur :

• Largeur de la face avant : $70$ cm
• Profondeur à la base : $67$ cm
• Profondeur au sommet : $39$ cm
• Hauteur totale à l'arrière : $1,1$ m

Données du trapèze ABCD (représentant la partie supérieure de la face latérale) :

• Petit côté (AD) : $39$ cm
• Grand côté (BC) : $67$ cm
• Côté oblique (CD) : $53$ cm
• Le point H est le projeté orthogonal de D sur $[BC]$.

a) Dans le trapèze ABCD, calculer la longueur CH.
b) Montrer que la longueur DH est égale à $45$ cm.
c) Vérifier que l'aire du trapèze ABCD est de $2385$ cm${}^2$.
d) Calculer le volume du composteur.
L'affirmation « il a une contenance d’environ $0,5$ m${}^3$ » est-elle vraie ? Justifier.

Rappels :

• Aire du trapèze $=\frac{(\text{Petit coˆteˊ}+\text{Grand coˆteˊ})\times \text{Hauteur}}{2}$
• Volume du prisme droit $=\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}$
• Volume du pavé droit $=\text{Longueur}\times \text{largeur}\times \text{hauteur}$