Brevet 2021 Mathématiques : sujet et corrigé

Pour chaque affirmation répondre par vrai ou faux. Justifier chaque réponse.

Affirmation 1 : 50% de 10 350 c’est 10 300.

Affirmation 2 : $\frac{7}{3}$ est la forme irréductible de $\frac{42}{18}$.

Affirmation 3 : L’équation $2x-4=-x+5$ a pour solution 3.

Affirmation 4 : L’arrondi à l’unité près du volume d’une boule de diamètre 21,6 cm est 42 213 cm${}^3$.

On rappelle la formule du volume d’une boule $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Affirmation 5 : Dans la figure codée ci-contre, la mesure de l’angle $\widehat{DNB}$, arrondie à l’unité près, est 18°.
(Schéma : Triangle BND rectangle en B avec BD = 4 cm et BN = 12 cm)

Affirmation 6 : On peut composer 6 codes différents avec un cadenas à 3 chiffres qui respecte les conditions suivantes :

• les deux premiers chiffres sont choisis parmi 1 ; 2 et 3 ;
• un chiffre peut apparaître deux fois ;
• le dernier chiffre est 6.

On étudie les précipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Nouméa entre avril et décembre 2020. On obtient le tableau suivant :

Source : https://www.historique-meteo.net/oceanie/nouvelle-caledonie/noumea/2020/

1. Calculer la moyenne des précipitations. Arrondir le résultat au mm près.
2. Quelle est l’étendue des précipitations ?
3. Déterminer la médiane des précipitations.
4. Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les précipitations sont supérieures à 100 mm. Arrondir le résultat à l’unité près.

BAI est un triangle rectangle en A tel que BA = 210 cm et AI = 155 cm.

1. Déterminer la longueur BI au cm près.
   Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

L’immeuble de Joanne possède 15 vitres rectangulaires.
Chaque vitre a pour longueur 210 cm et pour largeur 155 cm.
Lors d’une préalerte cyclonique Joanne pose de l’adhésif sur les deux diagonales de chaque vitre de l’immeuble.

2. Justifier que Joanne a besoin d’environ 5,22 m d’adhésif pour une vitre.

Joanne a 7 rouleaux d’adhésif de 10 m chacun.
3. A-t-elle assez d’adhésif pour toutes les vitres ? Justifier la réponse.

1. a) Justifier que 330 n’est pas un nombre premier.

La décomposition en produit de facteurs premiers de 500 est : $500=2^2\times 5^3$

b) Décomposer 330 en produit de facteurs premiers.
c) Justifier que 165 divise 330.
d) Justifier que 165 ne divise pas 500.

La pâtisserie Délices a préparé 330 biscuits aux noix et 500 biscuits au chocolat.
La pâtisserie souhaite répartir le plus de biscuits possible dans 165 boites.
La pâtisserie met le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte.

2. Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?
3. a) Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?
   b) Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ?

Une boîte de biscuits coûte 3 650 francs.
À partir de 10 boîtes achetées, la pâtisserie Délices offre une réduction de 5% sur le montant total.

4. Combien va-t-on payer pour l’achat de 12 boîtes?
   Faire apparaître les calculs effectués.

Un jeu est constitué de quatre familles de cartes :

• banane ;
• prune ;
• citron ;
• fraise.

Voici la répartition des cartes de la famille banane.

La répartition est la même pour les cartes avec les autres fruits.

1. Montrer que ce jeu a 56 cartes.

Joanne mélange toutes les cartes. Son frère Jack prend une carte au hasard.
On admet que chaque carte a la même chance d’être choisie.

Soit P l’événement : « Jack obtient une carte de la famille prune ».
2. Quelle est la probabilité de l’événement P ?

3. a) Quel est l’événement contraire de P ?
   b) Quelle est la probabilité de l’événement contraire de P ?

4. Quelle est la probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits ?

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : Distance de réaction
La distance de réaction d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où il appuie sur la pédale de frein.
On considère un conducteur en bonne santé.
La distance de réaction, en mètre, en fonction de la vitesse du véhicule est représentée par le graphique de l’annexe page 9/10.

1. Cette représentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.
2. Compléter, par lecture graphique, le tableau de l’annexe page 9/10.

Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche
La distance de freinage d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur appuie sur la pédale de frein et l’instant où la voiture s’arrête complètement.
La distance de freinage en mètre, pour un véhicule en bon état, est déterminée en fonction de la vitesse du véhicule par la formule :
$d=\frac{v^2}{203,2}$ où $v$ est la vitesse exprimée en km/h

On utilise le tableur suivant pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse :

1. Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu’il faut saisir dans la cellule B2 puis étirer vers la droite :
   = 2*B1/203.2 ; = B1*B1/203.2 ; = B1+B1/203.2

2. Un véhicule roule à 90 km/h. Montrer que sa distance de freinage est environ 40 m.

Partie 3 : Distance d’arrêt sur route sèche
La distance d’arrêt d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où la voiture s’arrête complètement.
(Schéma montrant : Distance d'arrêt = Distance de réaction + Distance de freinage)

Calculer la distance d’arrêt d’un véhicule roulant à 90 km/h.

On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois intérieures d’une piscine rectangulaire dont les dimensions sont données dans le document 2.
A l’aide des documents ci-dessous, calculer le budget que l’on doit prévoir pour les travaux de peinture.

Document 1 : pot de peinture

• Surface pouvant être peinte : 35 m²
• Prix : 12 000 F

Document 2 : piscine de base rectangulaire

• Longueur : 8 m
• Largeur : 4 m
• Profondeur : 1,70 m

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

La photo ci-dessous montre le phare Amédée, une balise et une bouée.
On dispose des informations suivantes :

• la hauteur du phare est de 56 m ;
• la balise est située à 260 m du phare ;
• la balise et la bouée sont distantes de 151 m ;
• la bouée O, le sommet B de la balise et le sommet P du phare sont considérés comme trois points alignés.

Schéma de la situation :
(Points P, B, O alignés ; H, A, O alignés ; PH = 56 m ; HA = 260 m ; AO = 151 m)
Les droites (PH) et (BA) sont parallèles.

1. Quelle est la distance OH en m ?
2. Déterminer la hauteur AB de la balise. Arrondir au dixième de m près.
   Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Le haut du phare est protégé par une barrière composée de sculptures. On souhaite réaliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture.

3. Calculer la mesure de l’angle $\hat{a}$ en degré dans la figure ci-dessous :
   (Schéma montrant un angle plat de 180° composé d'un angle de 72° et de l'angle $\hat{a}$)

Le script 1 permet de tracer le motif en pointillé ci-dessous (on part du point A et on s’arrête au point B).
4. Compléter le script 1 de l’annexe page 10/10.

Le script final permet de réaliser le contour de la sculpture.
5. Compléter le script final de l’annexe page 10/10.