Brevet 2021 Mathématiques : sujet et corrigé

Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n’est demandée.

1. Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.

2. À partir du triangle BEJ, rectangle isocèle en J, on a obtenu par pavage la figure ci-contre.
   a) Quelle est l’image du triangle BEJ par la symétrie d’axe (BD) ?
   b) Quelle est l’image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B ?
   c) Par quelle transformation passe-t-on du triangle AIH au triangle AMD ?

3. Calculer en détaillant les étapes :
   $$\frac{7}{2}+\frac{15}{6}\times \frac{7}{25}$$
   On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

4. Pour cette question, on indiquera sur la copie l’unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d’environ $3474\text{ km}$, la valeur qui approche le mieux son volume est :

5. On considère un triangle RST rectangle en S. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
   On arrondira la valeur des angles à l’unité.

Extrait de l'ANNEXE (page 9) pour l'exercice 1 :

Partie 1
Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6, puis on note le numéro de la face du dessus.

1. Donner sans justification les issues possibles.
2. Quelle est la probabilité de l’évènement A : « On obtient 2 » ?
3. Quelle est la probabilité de l’évènement B : « On obtient un nombre impair » ?

Partie 2
Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des numéros obtenus sur chaque dé.

1. Quelle est la probabilité de l’évènement C : « le score est 13 » ? Comment appelle-t-on un tel événement ?
2. Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
   a) Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
   b) Donner la liste des scores possibles.
3. a) Déterminer la probabilité de l’évènement D : « le score est 10 ».
   b) Déterminer la probabilité de l’évènement E : « le score est un multiple de 4 ».
   c) Démontrer que le score obtenu a autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que 7.

Extrait de l'ANNEXE (page 9) pour l'exercice 2 :

Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.

Programme A

• quand [drapeau] est cliqué
• demander [choisir un nombre] et attendre
• mettre [nombre choisi] à (réponse)
• mettre [Valeur 1] à (1 + nombre choisi)
• mettre [Valeur 2] à (3 * Valeur 1)
• mettre [résultat] à (Valeur 2 - 3)
• dire (regroupe [On obtient] (résultat)) pendant 2 secondes

Programme B

• quand [drapeau] est cliqué
• demander [choisir un nombre] et attendre
• mettre [nombre choisi] à (réponse)
• mettre [Valeur 1] à (nombre choisi + 3)
• mettre [Valeur 2] à (nombre choisi - 5)
• mettre [résultat] à (Valeur 1 * Valeur 2)
• dire (regroupe [On obtient] (résultat)) pendant 2 secondes

Programme C

• Choisir un nombre
• Multiplier par 7
• Ajouter 3
• Soustraire le nombre de départ

1. a) Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient 3 ».
   b) Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
2. Soit $x$ le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l’exécution du programme C ?
3. Un élève affirme qu’avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
4. a) Résoudre l’équation $(x+3)(x-5)=0$.
   b) Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient 0 » ?
5. Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?

Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott. Elle est partie d’une altitude de 251 mètres et arrivera au sommet à une altitude de 393 mètres.
Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point A et le sommet par le point E. Aurélie est actuellement au point D.
Les droites (AB) et (DB) sont perpendiculaires. Les droites (AC) et (CE) sont perpendiculaires. Les points A, D et E sont alignés. Les points A, B et C sont alignés.
$AD=51,25\text{ m}$ et $DB=11,25\text{ m}$.

1. Justifier que le dénivelé qu’Aurélie aura parcouru, c’est-à-dire la hauteur EC, est égal à $142\text{ m}$.
2. a) Prouver que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.
   b) Montrer que la distance qu’Aurélie doit encore parcourir, c’est-à-dire la longueur DE, est d’environ $596\text{ m}$.
3. On utilisera pour la longueur DE la valeur $596\text{ m}$. Sachant qu’Aurélie roule à une vitesse moyenne de $8\text{ km/h}$, si elle part à 9h55 du point D, à quelle heure arrivera-t-elle au point E ? Arrondir à la minute.
4. La pente d'une route est obtenue par le calcul suivant :
   $$\text{pente}=\frac{\text{deˊniveleˊ}}{\text{longueur horizontale parcourue}}$$
   La pente s’exprime en pourcentage.
   Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de $22,5\%$.

Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d’hiver :

• Formule A : on paie $36,50\text{ €}$ par journée de ski.
• Formule B : on paie $90\text{ €}$ pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis $18,50\text{ €}$ par journée de ski.
• Formule C : on paie $448,50\text{ €}$ pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.

1. Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski.
   Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.

2. Dans cette question, $x$ désigne le nombre de journées de ski. On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
   $$f(x)=90+18,5x;g(x)=448,5;h(x)=36,5x$$
   a) Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
   b) Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
   c) Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.

3. On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique page 7. Sans justifier et à l’aide du graphique :
   a) Associer chaque représentation graphique $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$ à la fonction $f$, $g$ ou $h$ correspondante.
   b) Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de $320\text{ €}$, en choisissant la formule la plus avantageuse.
   c) Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.

Extrait de l'ANNEXE (page 9) pour l'exercice 5 :