Brevet 2021 Mathématiques : sujet et corrigé

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3x-7$
   Affirmation n°1 : « l’image par $f$ du nombre $-1$ est $2$ ».

2. On considère l’expression $E=(x-5)(x+1)$.
   Affirmation n°2 : « L’expression $E$ a pour forme développée et réduite $x^2-4x-5$ ».

3. $n$ est un nombre entier positif.
   Affirmation n°3 : « lorsque $n$ est égal à $5$, le nombre $2^n+1$ est un nombre premier ».

4. On a lancé 15 fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on a noté les fréquences d’apparition dans le tableau ci-dessous :

Affirmation n°4 : « la fréquence d’apparition du 6 est 0 ».

5. On considère un triangle $RAS$ rectangle en $S$.
   Le côté $[AS]$ mesure $80$ cm et l’angle $\widehat{ARS}$ mesure $26^{\circ }$.
   Affirmation n°5 : le segment $[RS]$ mesure environ $164$ cm.

6. Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $160$ cm et pour largeur $95$ cm.
   Affirmation n°6 : les diagonales de ce rectangle mesurent exactement $186$ cm.

Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de $12,9$ kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :

Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d’équipement.
Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.

![Graphique distance/temps]

Le point $M$ a pour abscisse $42$ et pour ordonnée $10,4$.
À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

1. Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d’équipement ?
2. Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du parcours de l’épreuve de cyclisme ?
3. En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l’épreuve de course à pied ?
4. Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide ?
5. On considère que les changements d’équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
   La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à $14$ km/h ?

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On a construit un carré $ABCD$.
On a construit le point $O$ sur la droite $(DB)$, à l’extérieur du segment $[DB]$ et tel que : $OB=AB$.
Le point $H$ est le symétrique de $D$ par rapport à $O$.

On a obtenu la figure ci-contre en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre $O$ et d’angle $45^{\circ }$.
La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe $(DB)$ et par rapport au point $O$.

1. Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
2. Le carré ③ est-il l’image du carré ⑧ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
3. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré ① en le carré ②.
   Quelle est l’image du carré ⑧ par cette rotation ?
4. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré ② en le carré ⑤.
   Préciser l’image du segment $[EF]$ par cette rotation.

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.
On dispose d’un tableau carré ci-contre partagé en neuf cases blanches de mêmes dimensions qui constituent un motif.
Quatre instructions $A,B,C$ et $E$ permettent de changer l’aspect de certaines cases, lorsqu’on applique ces instructions. Ainsi :

Remarque : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande à la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.

Exemples : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches :

• la suite d'instructions $A$ $C$ permet d'obtenir un motif avec une croix noire centrale.
• la suite d'instructions $A$ $C$ $E$ permet d'obtenir le négatif du motif précédent.

Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.

1. Représenter le motif obtenu avec la suite d’instructions $A$ $B$.
2. Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d’obtenir le motif ci-contre (motif avec les 4 coins et le centre noirs). Lesquelles ?
   • Proposition n°1 : $A$ $B$ $C$
   • Proposition n°2 : $C$ $E$
   • Proposition n°3 : $B$ $C$ $E$ $C$
   • Proposition n°4 : $C$ $A$ $E$ $A$
3. Donner une suite d’instructions qui permet d’obtenir le motif ci-contre (motif avec toutes les cases noires sauf le centre et les milieux latéraux).

On souhaite rénover une salle de bain qui a la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.
Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :

• Longueur : $3,50$ m ; Largeur : $2,50$ m ; Hauteur : $2,50$ m.
• Porte : $0,80$ m $\times$ $2,10$ m.
• Fenêtre : $1,60$ m $\times$ $1,20$ m.

On dispose des informations suivantes :

Prix du papier peint :

• le papier peint est vendu au rouleau entier ;
• un rouleau coûte $16,95$ € ;
• un rouleau permet de recouvrir $5,3$ m².
• Conseil du vendeur : prévoir 1 rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.

Prix de la colle :

• la colle est vendue au pot entier ;
• un pot a une masse de $0,2$ kg ;
• un pot coûte $5,70$ €.
• Conseil du vendeur : compter 1 pot de colle pour 4 rouleaux de papier peint.

1. Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m².
2. Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d’euro.
3. Si on suit les conseils du vendeur, combien coûtera la rénovation de la salle de bain ?
4. Le jour de l’achat, une remise de $8$ % est accordée.
   Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d’euro.