Bac 2022 Mathématiques : sujet et corrigé

Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.

Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :

• 48 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 16,5 % exercent une profession de cadre ;
• 52 % des salariés sont des hommes. Parmi eux, 21,5 % exercent une profession de cadre.

On choisit une personne au hasard parmi les salariés. On considère les événements suivants :

• $F$ : « la personne choisie est une femme » ;
• $C$ : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.
3. a. Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à 0,191.
   b. Les événements $F$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.
4. Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
5. On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l’entreprise permet d’assimiler ce choix à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l’échantillon de 15 salariés.
   On rappelle que la probabilité qu’un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à 0,191.
   a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   b. Calculer la probabilité que l’échantillon contienne au plus 1 cadre.
   c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
6. Soit $n$ un entier naturel.
   On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.
   Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à 0,99 ?

On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1 représenté ci-dessous.

(Schéma d'un cube $ABCDEFGH$)

On munit l’espace du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

1. a. Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
   b. Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
   c. En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{ED}$.
   Déduire de la question 1.c. qu’une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est : $y-z=0$.
3. On désigne par $L$ le point de coordonnées $(\frac{2}{3};1;0)$.
   a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.
   b. Déterminer l’intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.
   c. Démontrer que le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées $(\frac{2}{3};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.
   d. Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
   e. Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.
   On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $V=\frac{1}{3}\times (\text{aire de la base})\times \text{hauteur}$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^{1000}+x$.
   On peut affirmer que :
   a. la fonction $g$ est concave sur $\mathbb{R}$.
   b. la fonction $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
   c. la fonction $g$ possède exactement un point d’inflexion.
   d. la fonction $g$ possède exactement deux points d’inflexion.

2. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée. On note $C$ la courbe représentative de $f$. On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f^{\prime }$. On a tracé ci-contre la courbe $\Gamma$. On note $T$ la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse 0.

(Graphique de la courbe $\Gamma$ passant par (0,1))

On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d’équation :
a. $y=x$
b. $y=0$
c. $y=1$
d. $x=0$

3. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n+1}$.
   On peut affirmer que la suite $(u_n)$ est :
   a. majorée et non minorée.
   b. minorée et non majorée.
   c. bornée.
   d. non majorée et non minorée.

4. Soit $k$ un nombre réel non nul. Soit $(v_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$. On suppose que $v_0=k$ et que pour tout $n$, on a $v_n\times v_{n+1}<0$. On peut affirmer que $v_{10}$ est :
   a. positif.
   b. négatif.
   c. du signe de $k$.
   d. du signe de $-k$.

5. On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_{n+1}=2w_n-4$ et $w_2=8$.
   On peut affirmer que :
   a. $w_0=0$.
   b. $w_0=5$.
   c. $w_0=10$.
   d. Il n’est pas possible de calculer $w_0$.

6. On considère la suite $(a_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $a_{n+1}=\frac{e^n}{e^n+1}{a}_n$ et $a_0=1$.
   On peut affirmer que :
   a. la suite $(a_n)$ est strictement croissante.
   b. la suite $(a_n)$ est strictement décroissante.
   c. la suite $(a_n)$ n'est pas monotone.
   d. la suite $(a_n)$ est constante.

7. Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques. On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu’une cellule donnée se divise en deux cellules. On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4000 cellules. On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
   a. moins d’une minute.
   b. 12 minutes.
   c. 20 minutes.
   d. 1 heure.

Partie A
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $]0;1]$ par : $f(x)=e^{-x}+\ln (x)$.

1. Calculer la limite de $f$ en 0.
2. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;1]$. On note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0;1]$, on a : $f^{\prime }(x)=\frac{1-x{e}^{-x}}{x}$.
3. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0;1]$, on a $x{e}^{-x}<1$.
   En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0;1]$.
4. Démontrer qu’il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $]0;1]$ tel que $f(\ell )=0$.

Partie B

1. On définit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ par :
   $\{\begin{array}{l}{a}_0=\frac{1}{10}\\ b_0=1\end{array}$ et, pour tout entier naturel $n$, $\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=e^{-b_n}\\ b_{n+1}=e^{-a_n}\end{array}$
   a. Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
   b. On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python. Recopier et compléter le cadre ci-dessous de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

def termes(n):
    a = 1/10
    b = 1
    for k in range(0, n):
        c = ...
        b = ...
        a = c
    return(a, b)

2. On rappelle que la fonction $x\mapsto e^{-x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
   a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le 1$.
   b. En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont convergentes.
3. On note $A$ la limite de $(a_n)$ et $B$ la limite de $(b_n)$. On admet que $A$ et $B$ appartiennent à l’intervalle $]0;1]$, et que $A=e^{-B}$ et $B=e^{-A}$.
   a. Démontrer que $f(A)=0$.
   b. Déterminer $A-B$.