Bac 2025 Physique-chimie : sujet et corrigé

Le lait est un aliment d'un grand intérêt nutritionnel dont la difficulté de conservation a été contournée depuis longtemps grâce à la fermentation lactique. Celle-ci fait intervenir des ferments et conduit à la transformation chimique du glucose en acide lactique. L’acide lactique, naturellement présent dans le lait voit son taux augmenter. Cette augmentation est responsable de la prise en masse du lait pour former un yaourt.

La yaourtière permet un chauffage doux et progressif du lait additionné des ferments afin de stimuler le processus de fermentation lactique ; ainsi, il suffira de huit heures environ pour fabriquer des yaourts.

Lors de la fermentation lactique, la multiplication des bactéries permettant la formation d'acide lactique est efficace entre $37,5^{\circ }\text{C}$ et $45,0^{\circ }\text{C}$. En cas de température trop basse, en huit heures, le yaourt ne prendra pas. À l’inverse, une température trop élevée le rendra trop acide.

On propose dans cet exercice de vérifier les conditions de fabrication d’un yaourt « fait maison » à la yaourtière et de l’aromatiser avec un arôme d’ananas synthétisé au laboratoire.

Partie A : Fabrication d'un yaourt

Données :

• Informations à propos de l’acide lactique :
  • Formule semi-développée : $H_{3}C-CH(OH)-COOH$
  • Masse molaire : $M=90,1\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$

Document 1. Exemple de recette maison à la yaourtière

• Dans un récipient équipé d’un bec verseur, je verse 1L de lait entier UHT* à température ambiante. Puis j’ajoute le contenu d’un sachet de ferments et je mélange très soigneusement.
• Je verse le mélange dans les pots, puis je les place ouverts dans ma yaourtière.
• Je ferme la yaourtière, puis je la mets en route suivant son mode d’emploi.
• À la fin du cycle, je mets les pots au réfrigérateur environ 2 heures avant de les déguster.

• Lait UHT : « upérisation à haute température », c’est un procédé qui consiste à tuer tous les micro-organismes et à neutraliser les enzymes éventuellement présentes naturellement dans le lait en le chauffant à une température très élevée.

1. Étude de la cinétique de la fermentation lactique

La transformation chimique du glucose en acide lactique correspondant à la fermentation lactique est modélisée par une réaction d'équation : $C_6{H}_{12}{O}_6(aq)\to 2C_3{H}_6{O}_3(aq)$

Pendant les quatre premières heures de fabrication, on contrôle la concentration $C_A$ en quantité de matière d’acide lactique formé dans le yaourt, on obtient la courbe ci-dessous (Document 2). Les ferments sont introduits à $t=0\text{ s}$.

Document 2. Évolution de la concentration en acide lactique dans le yaourt en fonction du temps
(Graphique montrant $C_A$ en $\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ en fonction du temps en minutes, avec une phase de latence jusqu'à environ 100 min puis une augmentation).

Q.1. Justifier, à l’aide du texte en introduction de l'exercice, que l’utilisation de la yaourtière favorise la fermentation lactique en indiquant le facteur cinétique mis en jeu.
Q.2. Identifier le temps marquant le début de la fermentation.
Q.3. Proposer une explication à la présence d’acide lactique à l’instant $t=0$.
Q.4. Calculer la valeur de $v_{app}$, la vitesse volumique d’apparition de l’acide lactique lorsque la fermentation a commencé, en expliquant la démarche suivie.

2. Caractérisation du yaourt maison

Le degré Dornic permet de quantifier la concentration en masse d’acide lactique présente dans les produits laitiers.
Un degré Dornic (noté ${}^{\circ }\text{D}$) correspond à $0,1\text{ g}$ d’acide lactique par litre de yaourt.
Un yaourt ferme est caractérisé par un degré Dornic compris entre 80 et $100{}^{\circ }\text{D}$ et un yaourt brassé par un degré Dornic compris entre 100 et $120{}^{\circ }\text{D}$.

Pour déterminer la fermeté d'un yaourt, on procède au titrage conductimétrique de l’acide lactique, noté $HA(aq)$, contenu dans un volume $V_A=10,0\text{ mL}$ de yaourt par une solution d’hydroxyde de sodium de concentration en quantité de matière $C_B=0,150\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
La réaction support du titrage est : $HA(aq)+H{O}^{-}(aq)\to A^{-}(aq)+H_{2}O(l)$.

Document 3. Évolution de la conductivité du yaourt en fonction du volume versé de solution d’hydroxyde de sodium
(Graphique montrant la conductivité en $\mu \text{S}\cdot {\text{cm}}^{-1}$ en fonction du volume versé en mL, présentant deux segments de droite sécants).

Q.5. Déterminer si le yaourt testé est ferme ou brassé.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti.

Partie B : Aromatiser le yaourt avec un arôme d’ananas

L’arôme d’ananas que l’on utilise pour aromatiser le yaourt est constitué principalement de butanoate d'éthyle synthétisé à partir d'acide butanoïque.

Document 4. Formules semi-développées de molécules

• Acide butanoïque : $C{H}_3-C{H}_2-C{H}_2-COOH$
• Butanoate d'éthyle : $C{H}_3-C{H}_2-C{H}_2-COOC{H}_2-C{H}_3$

Document 5. Table de données des spectres infrarouge (IR)

1. Étude des espèces chimiques de la synthèse

Q.6. Représenter la formule topologique du butanoate d'éthyle.
Q.7. Sur la formule topologique, entourer le groupe caractéristique de cette molécule et nommer la famille fonctionnelle correspondante.
Q.8. Déterminer la molécule qui, parmi celles présentées dans le document 4, correspond au spectre infrarouge du document 6. Justifier.

2. Synthèse de l’arôme d’ananas

La synthèse de l'arôme d'ananas correspond à la transformation modélisée par la réaction dont l'équation est :
$C_4{H}_8{O}_2(l)+C_2{H}_{6}O(l)\rightleftharpoons C_6{H}_{12}{O}_2(l)+H_{2}O(l)$
(acide butanoïque + éthanol $\rightleftharpoons$ butanoate d’éthyle + eau)

Protocole :

• Étape 1 : Introduire dans un ballon $40,0\text{ mL}$ d’éthanol (réactif en excès), $40,0\text{ mL}$ d’acide butanoïque et $1,0\text{ mL}$ d’acide sulfurique concentré.
• Étape 2 : Chauffer à reflux pendant 30 min.
• Étape 3 : Refroidir jusqu’à température ambiante puis verser le contenu dans une ampoule à décanter.
• Étape 4 : Ajouter $100\text{ mL}$ d’eau salée puis $30\text{ mL}$ de cyclohexane.
• Étape 5 : Isoler la phase organique.
• Étape 6 : Éliminer le solvant par distillation. On obtient ainsi $33,7\text{ g}$ d’ester.

Document 7. Propriétés physico-chimiques de quelques solvants extracteurs

Document 8. Masse molaire de quelques molécules

Q.9. Identifier dans le protocole les opérations permettant d’optimiser la vitesse de formation de l’arôme d’ananas.
Q.10. Justifier l’utilisation du cyclohexane dans l'étape 4 pour isoler le butanoate d’éthyle.
Q.11. Schématiser l’ampoule à décanter, la légender avec les termes : phase aqueuse et phase organique. Justifier la position de la phase contenant le butanoate d’éthyle.
Q.12. Montrer que l'éthanol est bien le réactif en excès, sachant que la quantité de matière initiale de l'acide butanoïque est $n_{acide}=4,4\times 10^{-1}\text{ mol}$.
Q.13. Calculer alors la valeur du rendement de la réaction. Commenter.

3. Mécanisme réactionnel

On s'intéresse à une partie du mécanisme réactionnel de la réaction dont les 2 premières étapes sont données (Document page 7).

Q.14. Identifier un intermédiaire réactionnel dans les étapes du mécanisme réactionnel ci-dessus, en justifiant.
Q.15. Recopier l’étape (1) et représenter par une flèche courbe le déplacement d’électrons. Justifier son sens.

Le trombone de Koenig est un dispositif permettant de déterminer la célérité des ondes acoustiques. Il est composé de deux tubes en U emboîtés l'un dans l'autre. Le premier est fixe, le second est mobile. Un haut-parleur, alimenté par un générateur de basse fréquence, émet un son de fréquence fixe. Un microphone branché sur un oscilloscope mesure le signal à la sortie du dispositif. On suppose que les ondes ont la même amplitude dans les deux tubes et que leur propagation a lieu sans amortissement.

Lorsque le tube mobile est enfoncé au maximum (décalage nul), le dispositif est symétrique et les deux chemins suivis par les ondes ont la même longueur.
Lorsque le tube mobile est tiré, les deux chemins suivis sont différents : les ondes interfèrent.

L'objectif de cet exercice est de déterminer la célérité des ondes acoustiques dans l'air à $20{}^{\circ }\text{C}$.

Q.1. Justifier en quoi le trombone de Koenig est un dispositif qui vérifie les conditions nécessaires à l’observation d’interférences au niveau du microphone.

Sur l’écran de l’oscilloscope (Figure 4), on observe la figure suivante :

• la voie CH1 est reliée au GBF ;
• la voie CH2 est reliée au microphone.
  (L'écran montre deux sinusoïdes en phase).

Q.2. Préciser le type d’interférences observé sur la figure 4 et justifier si celle-ci est associée à l’expérience 1 (décalage $d$) ou à l’expérience 2 (décalage $D$).

Pour l’expérience 2, on définit $\delta$, la différence de marche à l'instant $t$ entre l’onde circulant dans le tube en U fixe et l’onde circulant dans le tube en U mobile.

Q.3. Exprimer $\delta$ en fonction de $D$.
Q.4. Rappeler la relation entre $\delta$ et $\lambda$, la longueur d’onde du signal sonore, dans le cas d’interférences constructives. On introduira dans cette relation un nombre entier positif $k$.
Q.5. Montrer, à l'aide des questions 3 et 4, que pour tout $k$ entier positif, la distance de décalage correspondante $D_k$, conduisant à des interférences constructives, peut se mettre sous la forme :
$$D_k=\frac{k}{2}\times \frac{v}{f}$$
avec $v$ : célérité de l’onde sonore dans le trombone en $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ ; $f$ : fréquence de l’onde sonore dans le trombone en $\text{Hz}$.

La plus petite distance de décalage $D_1$ permettant d’observer à l’écran des interférences constructives est $D_1=4,35\text{ cm}$ pour une fréquence de l'onde sonore $f=4032\text{ Hz}$.

Q.6. En déduire la valeur de la célérité de l’onde sonore se propageant dans le trombone de Koenig.

On souhaite automatiser la détermination de la célérité $v$ des ondes acoustiques, en exploitant toutes les valeurs $D_k$ mesurées, à l’aide du programme écrit en langage python ci-dessous (Figure 5).

from statistics import mean

D = [4.32e-2, 8.7e-2, 13.1e-2, 17.4e-2, 21.6e-2] # décalage en mètre
k = [1, 2, 3, 4, 5] # nombre de décalage permettant l'obtention d'interférences constructives
f = 4032
v = []

for i in range(len(D)): # i prend les valeurs successives 0,1,2,3,4
    vi = 2 * f * D[i] / k[i]
    v.append(vi)

vson = round(mean(v)) # permet de calculer la moyenne vson des grandeurs contenues dans la liste v

print("La vitesse moyenne du son dans le trombone est", vson, "m/s")

Lambda = ...
print("La longueur d'onde de l'onde acoustique dans le trombone est", Lambda, "m")

Q.7. Expliquer l'intérêt des lignes 8, 9 dans le programme.
Q.8. Proposer à la ligne 16, à l'aide des grandeurs définies dans le programme, une formule permettant de calculer la longueur d'onde $\lambda$ (Lambda) des ondes acoustiques.

La viscosité est une grandeur physico-chimique caractéristique d’un fluide qui traduit la résistance de ce fluide au mouvement. Plus la viscosité du fluide est élevée, plus le fluide s’écoule difficilement. La valeur de la viscosité dépend de la température du fluide et elle s’exprime en $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

L'objectif de cet exercice est d’étudier la fiabilité des mesures obtenues à l’aide d’un viscosimètre à chute de bille.

1. Étude théorique de la chute d’une bille sphérique métallique dans un fluide

On étudie le mouvement d’une bille métallique sphérique de masse $m$, de rayon $R$ lâchée sans vitesse initiale dans une éprouvette graduée remplie d’un fluide. Le mouvement est rectiligne suivant un axe $Oz$ vertical orienté vers le bas.

Au cours de sa chute, la bille est soumise à :

• son poids $\vec{P}$
• la poussée d’Archimède, notée ${\vec{\pi }}_A$, de norme ${\pi }_A={\rho }_F\times V_F\times g$
• la force de frottement exercée par le fluide, notée $\vec{F}$, de norme $F=k\times v$
  • avec $k$ une constante qui dépend de la viscosité du fluide
  • $v$ la vitesse de la bille à l’instant $t$.

Q.1. Appliquer la seconde loi de Newton au centre de masse $G$ de la bille et établir la relation entre le vecteur accélération $\vec{a}$, les forces $\vec{P}$, ${\vec{\pi }}_A$, $\vec{F}$ et la masse $m$ de la bille.
Q.2. Montrer alors que la valeur $v$ de la vitesse de la bille vérifie l’équation différentielle suivante :
$$m\frac{dv}{dt}=-kv+mg-{\rho }_F{V}_{F}g\text{eˊquation (1)}$$
On admet que la solution est de la forme : $v=v_{lim}\times (1-e^{-t/\tau })$ où $v_{lim}$ est la vitesse limite et $\tau =\frac{m}{k}$ est un temps caractéristique (expression 2).

Q.3. Indiquer la nature du mouvement de la bille lorsque $v=v_{lim}$ et préciser alors la valeur de l’accélération de la bille.
Q.4. À l'aide de l'équation (1), exprimer la constante $k$ quand la vitesse atteint la valeur constante $v_{lim}$.
Q.5. Déterminer l’unité de la constante $k$ à l’aide d’une analyse dimensionnelle ou d’une analyse utilisant les unités.
Q.6. La constante $k$ peut aussi s’exprimer : $k=6\pi \times \eta \times R$ avec $\eta$ la viscosité du fluide. Montrer que :
$$\eta =\frac{g(m-{\rho }_F{V}_F)}{6\pi R{v}_{lim}}$$

2. Fiabilité du viscosimètre du lycée : mesure de la viscosité du glycérol

Une éprouvette de volume $1\text{ L}$ est remplie de glycérol à $20{}^{\circ }\text{C}$. On mesure la durée $\Delta t$ nécessaire à une bille en acier pour parcourir la distance $L$ entre deux graduations.

Données :

• Masse de la bille : $m=3,30\times 10^{-5}\text{ kg}$
• Volume de la bille : $V_{bille}=4,19\times 10^{-9}{\text{ m}}^3$
• Rayon de la bille : $R=1,00\times 10^{-3}\text{ m}$
• Masse volumique du glycérol : $\rho =1260\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$
• Intensité du champ de pesanteur : $g=9,81\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$
• Distance entre les deux graduations : $L=5,0\times 10^{-1}\text{ m}$

Au cours d’une expérience n°1, on a mesuré une durée $\Delta t=50,9\text{ s}$.
Q.7. Montrer que la valeur de la vitesse $v_{lim}$ est égale à $9,82\times 10^{-3}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ au cours de l’expérience n°1.
Q.8. Calculer la viscosité du glycérol grâce aux données de l’expérience n°1.

Dans les mêmes conditions, on a mesuré à nouveau 5 fois la viscosité (expériences n°2 à 6).
Document 3. Valeurs de la viscosité du glycérol mesurées à $20{}^{\circ }\text{C}$

Rappels :

• Moyenne : $\bar{X}$
• Incertitude-type : $u(\bar{X})=\frac{{\sigma }_{n-1}}{\sqrt{N}}$
• Quotient de compatibilité : $\frac{|X-X_{ref}|}{u(X)}$

Q.9. Calculer la valeur moyenne de la viscosité $\bar{\eta }$ et l’incertitude associée $u(\bar{\eta })$.
Q.10. La valeur de référence est ${\eta }_{ref}=1,49\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-1}$. L’écart-type expérimental est ${\sigma }_{n-1}=2,6\times 10^{-2}\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Conclure sur la fiabilité des mesures obtenues.