Bac 2025 Physique-chimie : sujet et corrigé

Un emballage « intelligent » est un emballage alimentaire capable d’afficher, à destination du client, des informations qui s’actualisent automatiquement au cours du temps. On trouve par exemple, sur certains emballages de produits frais au rayon poissonnerie, une pastille qui informe de la fraicheur du filet de poisson qu’ils contiennent. Ces pastilles sont imbibées d’un indicateur coloré.

Dans cet exercice, on souhaite vérifier si le bleu de bromophénol, un indicateur coloré acide-base noté BBP dans la suite de l’exercice, peut convenir pour la réalisation de ce type de pastille.

1. Synthèse du bleu de bromophénol

Pour synthétiser et caractériser le BBP ($C_{19}{H}_{10}B{r}_4{O}_{5}S$), on réalise le protocole suivant :

• étape n°1 : dissoudre dans un erlenmeyer une masse $m=201\text{ mg}$ de rouge de phénol ($C_{19}{H}_{14}{O}_{5}S$) dans $10\text{ mL}$ d’éthanol. Agiter, puis ajouter goutte à goutte une solution contenant du perbromure de pyridinium, qui permet de libérer du dibrome $B{r}_2$ dans le milieu ;
• étape n°2 : éliminer le solvant jusqu’à obtenir des cristaux au fond du ballon. Filtrer puis sécher les cristaux à l’étuve. Le produit solide obtenu est appelé par la suite le produit synthétisé brut ;
• étape n°3 : réaliser une chromatographie sur couche mince des réactifs et du produit synthétisé brut ;
• étape n°4 : enregistrer les spectres d’absorption du BBP de référence et du produit synthétisé brut.

Données :

• équation de la réaction modélisant la synthèse du BBP :
  $$C_{19}{H}_{14}{O}_{5}S(solv)+4B{r}_2(solv)\to C_{19}{H}_{10}B{r}_4{O}_{5}S(solv)+4HBr(solv)$$
  où $(solv)$ signifie dissous dans le solvant, ici l’éthanol ;
• concentration standard : $c^{\circ }=1\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ ;
• température de fusion du BBP : ${\theta }_{fusion}=273\text{ °C}$ ;
• pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l’incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$ ;
• chromatogramme obtenu du produit synthétisé brut (les espèces étant dissoutes dans un solvant adapté) :
  • a : rouge de phénol
  • b : perbromure de pyridinium
  • c : produit synthétisé brut à l’état final

Q1. Donner un titre aux étapes du protocole, en choisissant parmi les propositions suivantes : analyse du produit brut ; transformation des réactifs ; séparation.

Q2. En vous appuyant sur le chromatogramme obtenu, montrer qu’une transformation chimique a eu lieu et préciser si le produit synthétisé brut est pur.

Q3. À l’aide des spectres d’absorption proposés, justifier que le produit brut contient du BBP.

Q4. Citer une autre méthode permettant d’identifier le produit brut.

2. Identification du produit synthétisé par une mesure de $p{K}_A$

Le produit brut obtenu est purifié. On se propose d’en déterminer la constante d’acidité associée pour confirmer qu’il s’agit de BBP, en étudiant la courbe de titrage d’une solution contenant cette espèce par une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium.

Q5. Le BBP est un indicateur coloré acide-base dont le couple acide-base est noté $B{H}_2(aq)/B{H}^{-}(aq)$. Donner l’expression de la constante d’acidité $K_A$ de ce couple en fonction de $[B{H}_2]$, $[B{H}^{-}]$, $[H_3{O}^{+}]$, concentrations des espèces à l’équilibre chimique, ainsi que de la concentration standard $c^{\circ }$.

Q6. À partir de l’expression précédente, établir la relation suivante :
$$pH=p{K}_A+\log \left(\frac{[B{H}^{-}]}{[B{H}_2]}\right)$$

On prépare une solution $S_a$ du produit de synthèse purifié. On réalise un titrage de la solution $S_a$ à l’aide d’une solution $S_b$ d’hydroxyde de sodium, suivi par pH-métrie.
L’équation de la réaction support du titrage est :
$$B{H}_2(aq)+O{H}^{-}(aq)\to B{H}^{-}(aq)+H_{2}O(\ell )$$

La courbe de titrage est donnée sur la figure 1 (page 4/12).

Q7. Définir l’équivalence d’un titrage.

Q8. En explicitant la méthode, déterminer le volume $V_E$ de solution $S_b$ versé à l’équivalence.

Pour déterminer expérimentalement le $p{K}_A$ du couple $B{H}_2(aq)/B{H}^{-}(aq)$, on s’intéresse à un point particulier de la courbe, la demi-équivalence, atteint pour un volume versé égal à $\frac{V_E}{2}$.

Q9. Montrer que $[B{H}^{-}]=[B{H}_2]$ à la demi-équivalence.

Q10. En déduire, en explicitant la démarche utilisée, la valeur expérimentale du $p{K}_A$ du couple $B{H}_2(aq)/B{H}^{-}(aq)$.

Q11. Sachant que la valeur tabulée du $p{K}_A$ à $25\text{ °C}$ de ce couple est égale à $4,1$, indiquer si la valeur obtenue à la question Q10 est compatible avec la présence de BBP dans le produit de synthèse purifié. L’incertitude type sur la mesure du $p{K}_A$ est évaluée à $u(p{K}_A)=0,3$.

3. Étude de la couleur de la pastille dans l’emballage intelligent

Une pastille est imprégnée par une solution de BBP. Cet indicateur coloré a des formes acide et basique de couleurs différentes en solution. On donne le spectre d’absorption d’une solution aqueuse contenant majoritairement la forme acide (Figure 2, page 5/12).

Données :

• une solution contenant majoritairement la forme basique du BBP est de couleur bleue ;

• masse volumique de l’eau à $20\text{ °C}$ : ${\rho }_{eau}=1,0\text{ kg}\cdot {\text{L}}^{-1}$ ;

• masse molaire du chlorure d’hydrogène : $M=36,5\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ;

• règles de nomenclature pour les squelettes carbonés :

  Méthyl	Éthyl	Propyl
  $C{H}_3-$	$C{H}_3-C{H}_2-$	$C{H}_3-C{H}_2-C{H}_2-$

• règles pour les dérivés de l'ammoniac (exemples fournis en page 5/12 : propanamine, $N$-méthylpropanamine, $N$-éthyl-$N$-méthylpropanamine, $N,N$-diéthylpropanamine).

Q12. Montrer que la solution contenant la forme acide du BBP est de couleur jaune.

Pour obtenir le spectre de la figure 2, il est nécessaire de préparer une solution d’acide chlorhydrique de $pH=2,0$. La solution commerciale utilisée au laboratoire est de titre massique $t_m=37\text{ \%}$ et de densité $d=1,18$. On dispose de pipettes jaugées de volumes usuels entre $1,0\text{ mL}$ et $50,0\text{ mL}$ et d’une fiole jaugée de volume $V=200,0\text{ mL}$.

Q13. Montrer qu’il est impossible de préparer cette solution en ne réalisant qu’une seule dilution avec le matériel proposé.

Au cours du temps, les bactéries contenues dans le poisson produisent naturellement des molécules de $N,N$-diméthylméthanamine qui entrent en contact avec la pastille imbibée de BBP.

Q14. Choisir, parmi les trois formules semi-développées suivantes (Molécules A, B, C en page 6/12), celle qui correspond à la molécule de $N,N$-diméthylméthanamine.

Au cours de la dégradation du poisson, qui se réalise sur plusieurs jours, la $N,N$-diméthylméthanamine, composé volatil, est produite. La pastille de BBP initialement jaune se colore alors en bleu.

Q15. Écrire l’équation de la réaction modélisant la transformation chimique responsable de ce changement de couleur. On note $B{H}_2(aq)/B{H}^{-}(aq)$ le couple acide-base correspondant au BBP, et $R_{3}N{H}^{+}(aq)/R_{3}N(aq)$ celui associé à la $N,N$-diméthylméthanamine.

4. Cinétique d’ordre 1 de la décoloration du BBP en présence d’ion hydroxyde

L’ion $B{H}^{-}$ est une espèce amphotère. Les molécules de $N,N$-diméthylméthanamine produites lors de la dégradation du poisson rendent le milieu basique. En milieu très basique, le BBP se décolore selon une transformation chimique lente, considérée totale et modélisée par la réaction d’équation suivante :
$$B{H}^{-}(aq)+O{H}^{-}(aq)\to B^{2-}(aq)+H_{2}O(\ell )$$

Q16. Justifier le caractère amphotère de l’ion $B{H}^{-}$.

On souhaite savoir si cette transformation peut nuire à l’efficacité d’un emballage intelligent. Pour cela, on suit l’évolution de la concentration en ions $B{H}^{-}$, en fonction du temps, dans une solution très basique (Figure 4, page 7/12).

Q17. Après avoir déterminé le temps de demi-réaction, indiquer si ce temps caractéristique et la réaction associée sont adaptés à une utilisation dans la pastille d’un emballage intelligent. Détailler votre raisonnement en explicitant les évolutions de la couleur de la pastille de l’emballage au cours du temps.

Les phénomènes de radioactivité permettent, en géologie, la datation des roches. Il est par exemple possible d’utiliser le strontium 87 (${}^{87}Sr$), qui est notamment issu de la désintégration du rubidium 87 (${}^{87}Rb$), lui-même également présent dans une roche.

Données :

• temps de demi-vie du noyau de rubidium 87 : $t_{1/2}=49,2\times 10^9\text{ a}$ ;
• constante radioactive du noyau de rubidium 87 : $\lambda =1,41\times 10^{-11}{\text{ a}}^{-1}$ ;
• on suppose qu’une datation d’un échantillon de $1\text{ g}$ de roche par le rubidium 87 radioactif est possible tant qu’il reste au moins $N_{min}=2,0\times 10^9$ noyaux de rubidium 87 dans l’échantillon ;
• extrait du diagramme $(N,Z)$ fourni.

1. Le rubidium 87, un isotope radioactif adapté pour dater une roche

Q1. Rappeler la définition de noyaux isotopes.

Q2. Écrire l’équation de la désintégration du rubidium 87 indiquée par la flèche sur l’extrait du diagramme $(N,Z)$.

Q3. Préciser à quel type de désintégration correspond cette transformation nucléaire.

On estime qu’un échantillon de $1\text{ g}$ de roche du site de Meymac contenait à sa formation $N_{Rb}(0)=5,8\times 10^{20}$ noyaux de rubidium 87.

Q4. Rappeler la définition du temps de demi-vie $t_{1/2}$.

Q5. Déterminer, en justifiant le résultat, le nombre maximal de demi-vies après lequel il reste suffisamment de rubidium 87 dans l’échantillon pour qu’on puisse le détecter. On remarquera que le rapport $\frac{5,8\times 10^{20}}{2,0\times 10^9}$ est compris entre $2^{38}$ et $2^{39}$.

Q6. Justifier que le rubidium 87 est adapté pour dater un échantillon de $1\text{ g}$ de roche du site de Meymac (âgé de plusieurs centaines de millions d'années).

2. Décroissance radioactive du rubidium 87 dans une roche

Le nombre $N_{Rb}(t)$ de noyaux de rubidium 87 est solution de l’équation différentielle :
$$\frac{d{N}_{Rb}(t)}{dt}=-\lambda \cdot N_{Rb}(t)$$

Q7. Vérifier que $N_{Rb}(t)=N_{Rb}(0)\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ est solution de l’équation différentielle ci-dessus.

Q8. Déterminer l’expression de $t_f$ (date à laquelle il reste $N_{min}$) en fonction de $N_{min}$, $N_{Rb}(0)$ et $\lambda$.

Q9. Calculer la valeur de $t_f$ puis la comparer à la réponse donnée dans la question Q6. Commenter.

3. Datation d’une roche du site de Meymac au strontium 87

La quantité de strontium 87 présent dans la roche à une date $t$ s’écrit :
$$N_{Sr}(t)=N_{Sr}(0)+N_{Sr\text{ formeˊ}}(t)\text{(Eˊquation 1)}$$

Q10. Donner la relation entre $N_{Sr\text{ formeˊ}}(t)$, $N_{Rb}(0)$ et $N_{Rb}(t)$, sachant que pour un noyau de rubidium 87 qui se désintègre, un noyau de strontium 87 se forme.

Q11. En déduire l’égalité : $N_{Sr\text{ formeˊ}}(t)=N_{Rb}(t)\cdot (e^{\lambda \cdot t}-1)$ (Équation 2).

Les équations 1 et 2 permettent d’obtenir l’équation 3 :
$$\frac{N_{Sr}(t)}{N_{r\acute{e}f}}=\frac{N_{Sr}(0)}{N_{r\acute{e}f}}+(e^{\lambda \cdot t}-1)\cdot \frac{N_{Rb}(t)}{N_{r\acute{e}f}}\text{(Eˊquation 3)}$$
où $N_{r\acute{e}f}$ représente le nombre de noyaux stables de strontium 86. On pose $y=b+(e^{\lambda \cdot t}-1)\cdot x$.

Q12. À l’aide de la figure 1 (page 10/12) présentant la modélisation $y=0,7105+0,0042\cdot x$, déterminer l’âge $t_{roche}$ de la roche du site de Meymac.

Le but de cet exercice est d’étudier le principe de fonctionnement d’un viscosimètre à chute de bille permettant de mesurer la viscosité d’une huile appelée « huile C ».

Données :

• masse volumique de l’huile C : ${\rho }_h=8,31\times 10^2\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ ;
• masse volumique de la bille : ${\rho }_b=1,06\times 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ ;
• rayon de la bille : $r=0,993\text{ mm}$ ;
• intensité de la pesanteur : $g=9,81\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ ;
• volume d’une bille : $V_b=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$ ;
• constante $\alpha =1,92\times 10^{-2}\text{ m}$.

Forces appliquées à la bille de masse $m$ :

• son poids $\vec{P}$ ;
• la poussée d’Archimède $\overrightarrow{P_A}=-{\rho }_h\cdot V_b\cdot g\cdot \vec{k}$ ;
• la force de frottement $\vec{f}=-\alpha \cdot {\eta }_C\cdot v\cdot \vec{k}$.

Q1. Montrer, à l’aide d’un raisonnement sur les unités, que la viscosité ${\eta }_C$ s’exprime en $\text{N}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot \text{s}$.

À la date $t=0$, la bille est lâchée avec une vitesse initiale nulle. Au bout de quelques instants, elle atteint une vitesse limite $v_{lim}$.

Q2. Préciser, en justifiant, si la valeur de la force de frottement $f$ augmente ou diminue quand la valeur de la vitesse de la bille augmente.

Q3. Représenter sur un schéma, sans calcul et en justifiant, l’ensemble des forces appliquées au système {bille}, lorsque la vitesse limite est atteinte.

Q4. Montrer que la vitesse limite vérifie l’équation :
$$\alpha \cdot {\eta }_C\cdot v_{lim}=\frac{4\cdot \pi \cdot r^3\cdot g\cdot ({\rho }_b-{\rho }_h)}{3}$$

Q5. La valeur limite de la vitesse vaut $v_{lim}=5,37\text{ mm}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Calculer la valeur de la viscosité ${\eta }_C$ de l’huile C.

Q6. Déterminer si la valeur de la viscosité ${\eta }_C$ obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence ${\eta }_{r\acute{e}f}=0,093\text{ N}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot \text{s}$ (avec $u({\eta }_C)=0,003\text{ N}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot \text{s}$).

Q7. À l’aide de la deuxième loi de Newton, montrer que l’accélération $a$ peut s’écrire :
$$a=g\cdot \left(1-\frac{{\rho }_h\cdot V_b}{m}\right)-\frac{\alpha \cdot {\eta }_C}{m}\cdot v$$

Q8. En déduire que l’évolution de la coordonnée $v$ obéit à l’équation différentielle :
$$\frac{dv}{dt}+\frac{3\cdot \alpha \cdot {\eta }_C}{4\cdot {\rho }_b\cdot \pi \cdot r^3}\cdot v=g\cdot \left(1-\frac{{\rho }_h}{{\rho }_b}\right)$$

Q9. Calculer la valeur de $\tau =\frac{4\cdot {\rho }_b\cdot \pi \cdot r^3}{3\cdot \alpha \cdot {\eta }_C}$ en utilisant la valeur de référence. Justifier que l’on peut considérer que la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite durant tout le mouvement sachant que le tube a une hauteur d’environ $15\text{ cm}$.