Bac 2023 Physique-chimie : sujet et corrigé

Dans cet exercice, on se propose de :

• vérifier par deux méthodes différentes si une eau supposée potable prélevée au robinet satisfait ou non à la recommandation de l'OMS concernant les nitrates (partie A et partie B) ;
• déterminer combien de temps un biberon préparé peut être conservé avant consommation (partie C).

Partie A - Dosage spectrophotométrique des ions nitrate dans une eau

Par ajout d'acide 2,4-phénoldisulfonique, une solution aqueuse initialement incolore prend une teinte jaune plus ou moins prononcée selon sa concentration en ions nitrate $N{O}_3^{-}$. La concentration en ion $N{O}_3^{-}$ de cette solution peut alors être déterminée par la mesure de son absorbance à une longueur d'onde donnée.

Données

• Absorption de la lumière du visible :

• Protocole du dosage :
  ÉTAPE 1 : obtention d’une courbe d’étalonnage
  Pour vérifier la concentration en masse en ions nitrate $N{O}_3^{-}$ d’une eau, on réalise dans un premier temps plusieurs dilutions d’une solution aqueuse S de nitrate de potassium de concentration en masse $t_{N{O}_3^{-}}=1,0\times 10^{-1}\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$ (avec ajout d’acide 2,4-phénoldisulfonique). On obtient alors une échelle de teintes à partir de cinq solutions filles $S_1,S_2,S_3,S_4$ et $S_5$ plus ou moins concentrées en ions nitrate.
  On mesure ensuite l’absorbance $A$ des différentes solutions filles à une longueur d’onde $\lambda$ judicieusement choisie, puis on trace le graphe de l’absorbance $A$ en fonction de la concentration en masse en ions nitrate $t_{N{O}_3^{-}}$ (figure 1).

ÉTAPE 2 : mesure sur l’échantillon à analyser
On prélève un volume $V=250\text{ mL}$ de l’eau étudiée que l’on fait réagir avec un excès d’acide 2,4-phénoldisulfonique. On mesure ensuite l’absorbance de cette solution avec les mêmes réglages que ceux utilisés à l’ÉTAPE 1. L’absorbance mesurée est : $A=0,48$.
Le spectrophotomètre utilisé lors de ce dosage peut fonctionner avec des radiations monochromatiques de longueurs d’onde : $440\text{ nm},510\text{ nm},580\text{ nm},640\text{ nm}$.

1. Indiquer la longueur d’onde la plus adaptée pour réaliser ce dosage. Justifier.
2. Utiliser la figure 1 pour déterminer la concentration en masse en ions nitrate $t_1$ de l’eau analysée.
   On désigne par $u(t_1)$ l’incertitude-type sur la valeur de $t_1$. Pour cette détermination, on estime que l’incertitude-type relative $\frac{u(t_1)}{t_1}$ est de l’ordre de $15\%$.
3. Écrire, en conservant un seul chiffre significatif pour l’incertitude-type, le résultat de la mesure de la concentration en ions nitrate $t_1$.

Partie B - Dosage par titrage conductimétrique des ions nitrate dans l’eau étudiée

Une autre méthode de dosage consiste à faire réagir les ions nitrate, $N{O}_3^{-}$, en milieu acide, avec une quantité connue d’ions $F{e}^{2+}$. Cette quantité notée $n(F{e}^{2+}{)}_{totale}$ est largement suffisante pour consommer tous les ions nitrate : c’est l’étape 1.
On titre ensuite les ions $F{e}^{2+}$ en excès (qui n’ont pas réagi précédemment) à l’aide d’un dosage par titrage conductimétrique : c’est l’étape 2.

Données

• Masses molaires : $M(N{O}_3^{-})=62,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $M(F{e}^{2+})=55,8\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $M(C{r}_2{O}_7^{2-})=216\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
• Protocole du titrage :
  ÉTAPE 1 : on prélève un volume $V=250,0\pm 0,2\text{ mL}$ de l’eau étudiée dans la partie A. On fait réagir ce volume avec une solution acidifiée contenant $n(F{e}^{2+}{)}_{totale}=4,0\times 10^{-3}\text{ mol}$ d’ions $F{e}^{2+}$.
  L’équation de la réaction est la suivante :
  $N{O}_3^{-}(aq)+3F{e}^{2+}(aq)+4H_3{O}^{+}(aq)\to NO(g)+3F{e}^{3+}(aq)+6H_{2}O(\ell )$ (équation 1)
  On note $n(F{e}^{2+}{)}_{exc\grave{e}s}$ la quantité de matière en ions $F{e}^{2+}$ encore présente à l’état final de la réaction d’équation 1.

ÉTAPE 2 : la quantité de matière $n(F{e}^{2+}{)}_{exc\grave{e}s}$ est déterminée à l’aide d’un titrage par les ions dichromate $C{r}_2{O}_7^{2-}$ d’une solution aqueuse de dichromate de potassium pour laquelle $[C{r}_2{O}_7^{2-}]=C=5,0\times 10^{-2}\pm 0,2\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
L'équation de la réaction support de ce titrage s'écrit :
$C{r}_2{O}_7^{2-}(aq)+6F{e}^{2+}(aq)+14H_3{O}^{+}(aq)\to 2C{r}^{3+}(aq)+6F{e}^{3+}(aq)+21H_{2}O(\ell )$ (équation 2)
La courbe du titrage obtenue est présentée dans la figure 2.

4. Identifier le réactif titré et le réactif titrant lors du titrage de l’ÉTAPE 2.
5. À partir de l’exploitation de la figure 2, montrer que la quantité de matière des ions $F{e}^{2+}$ qui ont été versés en excès $n(F{e}^{2+}{)}_{exc\grave{e}s}$ vaut environ $3,6\text{ mmol}$.
   La quantité d’ions nitrate recherchée $n(N{O}_3^{-})$ peut être calculée à partir de la quantité d’ions $F{e}^{2+}$ initialement introduite lors de l’ÉTAPE 1, $n(F{e}^{2+}{)}_{totale}$, et à partir de la quantité d’ions $F{e}^{2+}$ titrée lors du titrage $n(F{e}^{2+}{)}_{exc\grave{e}s}$ en utilisant la relation suivante :
   $n(N{O}_3^{-})=\frac{1}{3}[n(F{e}^{2+}{)}_{totale}-n(F{e}^{2+}{)}_{exc\grave{e}s}]$
6. Justifier cette relation.
7. Calculer la quantité d’ion nitrate $n(N{O}_3^{-})$ présente dans l’échantillon d’eau. En déduire que la concentration en masse en ion nitrate $t_2$ vaut environ $33\text{ mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
   L’incertitude-type $u(t_2)$ sur la valeur de la concentration $t_2$ de nitrates déterminée avec le titrage est donnée par la relation :
   $u(t_2)=t_2\times \sqrt{{\left(\frac{u(C)}{C}\right)}^2+{\left(\frac{u(V_E)}{V_E}\right)}^2+{\left(\frac{u(V)}{V}\right)}^2}$
   avec :

• $u(V_E)=0,5\text{ mL}$, incertitude-type sur la valeur du volume $V_E$ de solution titrante versée à l’équivalence.
• $u(V)$, incertitude-type sur la valeur du volume de solution titrée $V$.
• $u(C)$, incertitude-type sur la valeur de la concentration en quantité de matière $[C{r}_2{O}_7^{2-}]=C$ en ions dichromate $C{r}_2{O}_7^{2-}$.

8. Calculer l’incertitude-type $u(t_2)$ de la teneur en ions nitrate puis donner un encadrement de la concentration en masse $t_2$ obtenue avec cette méthode de titrage.
9. Conclure sur la potabilité de l’eau prélevée au regard des résultats obtenus par les deux méthodes de dosage étudiées.

Partie C - Combien de temps peut-on conserver un biberon préparé avec du lait en poudre ?

On prépare un biberon par dissolution de lait en poudre dans de l’eau.
Un lait présente une légère acidité qui peut se développer assez vite selon les conditions de conservation. En effet, le lactose présent dans le lait se transforme progressivement en acide lactique.
On vérifie l’état de conservation d’un lait en mesurant son acidité exprimée en degré Dornic (°D). Un degré Dornic, noté 1°D, correspond à $0,10\text{ g}$ d’acide lactique par litre de lait.

Données

• Formule semi-développée de l’acide lactique : $C{H}_3-CH(OH)-COOH$
• Masse molaire de l’acide lactique : $M=90,0\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
• $p{K}_a$ (acide lactique/ion lactate) = 3,9
• Couples acide/base de l’eau : $H_3{O}^{+}(aq)/H_{2}O(\ell )$ ; $H_{2}O(\ell )/H{O}^{-}(aq)$
• Rappel : $p{K}_a=-\log K_a$

Le couple acide lactique / ion lactate
10. Recopier la formule semi-développée de l’acide lactique, entourer les groupes caractéristiques et indiquer leur nom.
11. Représenter le schéma de Lewis de l’ion lactate, base conjuguée de l’acide lactique.
Pour la suite, on note $AH$ l’acide lactique et $A^{-}$ sa base conjuguée. La réaction chimique entre l’acide lactique $AH$ et l’eau du biberon conduit à un équilibre chimique :
$AH(aq)+H_{2}O(\ell )\rightleftharpoons A^{-}(aq)+H_3{O}^{+}(aq)$
La mesure au laboratoire du pH du lait contenu dans le biberon indique un $pH=6,2$.
12. Après avoir représenté le diagramme de prédominance du couple $AH/A^{-}$, indiquer quelle espèce prédomine dans le lait du biberon.
13. Exprimer la constante d’acidité $K_a$ du couple $AH/A^{-}$ en fonction des concentrations $[AH]$, $[A^{-}]$, $[H_3{O}^{+}]$ et $c^{\circ }$ avec $c^{\circ }=1\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$, concentration standard.
14. En déduire que la concentration en ion lactate $[A^{-}]$ dans le lait du biberon est environ 200 fois supérieure à celle en acide lactique $[AH]$.

Dosage de l’acide lactique
Afin de déterminer la concentration en acide lactique dans le lait, on met en œuvre le protocole suivant :

• Verser dans un erlenmeyer $V_L=40,0\text{ mL}$ de lait.
• Ajouter $V_{eau}=150\text{ mL}$ d’eau distillée.
• Ajouter quelques gouttes d’indicateur coloré.
• Placer l’erlenmeyer sous une burette remplie de solution d’hydroxyde de sodium $(N{a}^{+},H{O}^{-})$ de concentration $c_B=2,0\cdot 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ et agiter.
• Verser jusqu’au changement de couleur et noter le volume de soude versé $V_{BE}$.
  Pour un même échantillon de lait, on recommence la manipulation plusieurs fois. Les valeurs de $V_{BE}$ ainsi obtenues sont regroupées dans le tableau ci-dessous.

La valeur moyenne de ces valeurs est $\overline{V_{BE}}=12,2\text{ mL}$.
Au cours de la transformation, les couples acide-base mis en jeu sont : $AH/A^{-}$ et $H_{2}O/H{O}^{-}$.
15. Écrire la réaction support du dosage.
16. Déterminer la concentration en masse d’acide lactique dans le lait de biberon.
17. Parmi les deux paramètres suivants, volume de lait, $V_L$, et volume d’eau distillée, $V_{eau}$, indiquer lequel a une incidence sur la valeur de $V_{BE}$.

Suivi temporel de la concentration en acide lactique dans plusieurs échantillons
Des tests ont été effectués sur trois échantillons provenant du lait d’un biberon classique préparé par dissolution de lait en poudre dans de l’eau. Ces échantillons ont ensuite été stockés pendant plusieurs jours aux températures suivantes :

• Echantillon 1 : 5 °C.
• Echantillon 2 : 20 °C.
• Echantillon 3 : 30 °C.
  Un suivi par titrage a permis de déterminer la concentration en masse d’acide lactique dans chaque échantillon en fonction du temps (figure 3).
  Un lait est considéré comme frais, selon les normes en vigueur, si son acidité est inférieure à 18°D.

18. À l’aide du graphe de la figure 3, déterminer au bout de combien de temps les échantillons 2 et 3 ne sont plus considérés comme étant des laits frais.

L’objectif de cet exercice est de déterminer quelques caractéristiques d’une exoplanète dont la découverte a été annoncée en décembre 2021. Cette exoplanète est nommée GJ 367b, elle sera notée P. Elle est en orbite autour de l’étoile hôte GJ 367, qui sera notée E.

Donnée
Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}{\text{ m}}^3\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Partie A - Détection par la méthode du transit

Une exoplanète peut être détectée par la méthode du transit planétaire qui consiste à mesurer régulièrement la luminosité d’une étoile afin de détecter la baisse périodique de sa luminosité. Cette baisse de luminosité est associée au passage par rapport à l’observateur d’une exoplanète devant l’étoile (figure 1 et figure 2).

1. À partir de la figure 3 (ANNEXE PAGE 12/12), justifier l’utilisation du terme « périodique » pour décrire la variation de luminosité de l’étoile.
2. À partir de la figure 3 (ANNEXE PAGE 12/12), déterminer la valeur de la période $T$ du phénomène observé le plus précisément possible, en indiquant la méthode employée.

Partie B - Mouvement de l’exoplanète GJ 367b

Dans le référentiel de l’étoile E, supposé galiléen, on considère que l’orbite de l’exoplanète P est circulaire, de centre O (centre de l’étoile) et de rayon $r$. La masse de l’exoplanète est notée $m_P$.
La masse de l’étoile E est : $M_E=9,5\times 10^{29}\text{ kg}$.

3. Sans souci d’échelle, représenter sur la figure 4 (ANNEXE PAGE 12/12) la force gravitationnelle exercée par l’étoile E sur l’exoplanète P.
4. Écrire l’expression vectorielle de cette force dans le repère de Frenet $(P,{\vec{u}}_t,{\vec{u}}_n)$ en fonction de $G,M_E,m_P$ et $r$.
5. Énoncer la deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires ».
6. Compléter la figure 4 (ANNEXE PAGE 12/12) afin d’illustrer cette loi et justifier que le mouvement de l’exoplanète P est uniforme.
7. Appliquer la deuxième loi de Newton à l’exoplanète P et démontrer que la vitesse $v_P$ de l’exoplanète P sur son orbite peut s’écrire : $v_P=\sqrt{\frac{G\times M_E}{r}}$.
8. Donner l’expression de la période de révolution $T$ de l’exoplanète P en fonction de sa vitesse $v_P$ et du rayon $r$ de son orbite circulaire. En déduire l’égalité suivante : $T^2=\frac{4{\pi }^2\times r^3}{G\times M_E}$.
9. En admettant que $T=7,7\text{ h}$, montrer que la valeur du rayon $r$ de la trajectoire circulaire de l’exoplanète autour de l’étoile E est proche d’un million de kilomètres.

Partie C – GJ 367b : une exoplanète de fer ?

Concernant l’exoplanète GJ 367b, en décembre 2021, un magazine scientifique titre « Une planète de fer a été découverte ».
Les chercheurs ont pu déterminer que l’exoplanète P a un volume $V_P$ égal à $37\%$ du volume de la Terre $V_T$ et une masse $M_P$ égale à $55\%$ de la masse de la Terre $M_T$.

Données

• Masse de la Terre : $M_T=5,97\times 10^{24}\text{ kg}$
• Rayon de la Terre : $R_T=6,37\times 10^6\text{ m}$
• Masse volumique du fer : $\rho (Fe)=7,9\times 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$
• Volume d’une sphère de rayon $r$ : $V=\frac{4}{3}\pi \times r^3$

10. Calculer la masse volumique de la planète et justifier la référence au fer dans le titre « Une planète de fer a été découverte ».

Pour obtenir des objets en céramique, il faut les placer à l’intérieur d’un four adapté. Les objets sont chauffés progressivement jusqu’à atteindre 1000 °C (phase 1) et maintenus à cette température pendant une durée précise (phase 2). L’objectif de cet exercice est d’évaluer la consommation de gaz d’un four lors des deux phases de la cuisson.

DOCUMENT 1 - Le four
L’intérieur du four est fabriqué en briques réfractaires.

• Caractéristiques du four :
  • Capacité thermique massique : $c_f=800\text{ J}\cdot {\text{K}}^{-1}\cdot {\text{kg}}^{-1}$
  • Masse du four : $m_f=120\text{ kg}$
  • Résistance thermique du four : $R_{th}=0,6\text{ K}\cdot {\text{W}}^{-1}=0,6\text{ °C}\cdot {\text{W}}^{-1}$

DOCUMENT 2 - Bouteille de propane

• Masse molaire du propane : $M=44,1\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
• Énergie molaire libérée lors de la combustion du propane : $E_n=2004\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$

Rappels et Données

• $T(K)=\theta (°C)+273,15$
• Variation de l’énergie interne : $\Delta U=m\times c\times ({\theta }_f-{\theta }_i)$
• Le débit massique de gaz $D$ (en $\text{g}\cdot {\text{h}}^{-1}$) est la masse de gaz cédée par la bouteille durant 1 h.
• Flux thermique : $\Phi =\frac{{\theta }_{four}-{\theta }_{ext}}{R_{th}}$

Partie A - Durée de la mise en température du four

On veut déterminer la quantité de gaz brûlée pour élever la température de ${\theta }_i=20\text{ °C}$ à ${\theta }_f=1000\text{ °C}$.

1. Calculer la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système { four } lorsque sa température passe de ${\theta }_i$ à ${\theta }_f$.
2. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système { four } et en déduire la valeur de la quantité d’énergie $Q$ reçue par le système par transfert thermique.
   Lors de la phase de chauffe, la combustion du gaz dégage une quantité de chaleur $Q_A$ supérieure à $Q$ car $33\%$ de la quantité $Q_A$ est perdue.
3. Montrer que la quantité d’énergie thermique $Q_A$ que doit fournir la combustion du gaz a pour valeur $Q_A=1,4\times 10^8\text{ J}$.
4. Déduire des questions précédentes la valeur de la masse $m_g$ de gaz nécessaire pour atteindre la température ${\theta }_f$.
5. En supposant que le débit du gaz est constant et vaut $D=1250\text{ g}\cdot {\text{h}}^{-1}$, déterminer la valeur de la durée $\Delta t_A$ nécessaire.

Partie B - Maintien en température

Une fois la température de 1000 °C atteinte, elle est maintenue pendant $\Delta t_B=20\text{ min}$. Le milieu extérieur est à ${\theta }_{ext}=20\text{ °C}$. On note $Q_B$ la quantité de chaleur reçue pour compenser les pertes.

6. Citer les trois modes de transfert thermique possibles du four vers le milieu extérieur.
7. Calculer la valeur du flux thermique $\Phi$ entre le système { four } et le milieu extérieur lorsque le four est maintenu à ${\theta }_{four}=1000\text{ °C}$.
8. Montrer que la valeur de l’énergie $Q_B$ nécessaire pour maintenir constante la température du four pendant cette durée est proche de $2,0\text{ MJ}$.
9. En déduire la valeur de la masse de gaz minimale $m_{min}$ qui doit être consommée pendant cette phase de maintien.

Partie C – Comparaison des énergies

10. Comparer la valeur de l’énergie $Q_A$ nécessaire pour la mise en température avec celle de l’énergie $Q_B$ nécessaire pour maintenir le four à température. En tirer une conclusion pratique dans la vie quotidienne lorsque l’on a plusieurs cuissons différentes à réaliser.