Bac 2023 Physique-chimie : sujet et corrigé

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l’astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l’entourait (figure 1).
Ce n’est qu’en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l’aspect varie avec l’angle d’observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Données :

• Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens :

• Un observateur peut distinguer deux points différents d’un objet si l’angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d’observation, est supérieur ou égal à $3,0\times 10^{-4}$ rad ;
• Approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad) : $\tan (\theta )\approx \theta$ ;
• Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}$ N·m${}^2$·kg${}^{-2}$ ;
• Masse de Saturne : $M_S=5,68\times 10^{26}$ kg ;
• Masse de Titan : $M_T=1,34\times 10^{23}$ kg ;
• Distance moyenne entre la Terre et Saturne : $D_{T-S}=1,42\times 10^9$ km ;
• Rayon de l’orbite de Titan autour de Saturne : $R=1,22\times 10^6$ km.

1. Observation de Saturne par Huygens
La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées $L_1$ et $L_2$. La lentille $L_1$ représente l’objectif et la lentille $L_2$ l’oculaire. Leurs centres optiques respectifs sont notés $O_1$ et $O_2$ et leurs distances focales respectives sont notées $f_1^{\prime }$ et $f_2^{\prime }$.
Sur la figure A1 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE sont représentées les deux lentilles et la position du foyer image $F_1^{\prime }$ de la lentille $L_1$. La lunette est utilisée pour observer un objet AB, supposé « à l’infini », dont l’image par l’objectif sera notée $A_1{B}_1$.

Q1. Préciser le sens du terme « afocal ».
Q2. Placer, sur la figure A1 de l’ANNEXE, les foyers objet $F_2$ et image $F_2^{\prime }$ de la lentille $L_2$ dans le cas d’une lunette afocale.
Q3. Construire, sur la figure A1 de l’ANNEXE, la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l’image intermédiaire $A_1{B}_1$.

La lunette de Huygens est constituée d’un tube long de 372 cm. Comme indiqué sur la figure 4, l’oculaire est placé à une extrémité du tube. L’objectif quant à lui est enfoncé de 36 cm par rapport à l’autre extrémité.
Q4. Vérifier, à partir des données, que la lunette d’Huygens peut être considérée comme « afocale ».

L’angle $\theta$, représenté sur la figure A1 de l’ANNEXE, désigne l’angle sous lequel l’espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l’œil nu depuis la Terre (voir figure 5). On note ${\theta }^{\prime }$ l’angle sous lequel un observateur voit l’image $A^{\prime }{B}^{\prime }$ de l’espace AB, à travers la lunette.
Q5. Placer l’angle ${\theta }^{\prime }$ sur la figure A1 de l’ANNEXE.
Q6. Donner l’expression du grossissement $G_{Huy}$ de la lunette de Huygens en fonction des angles $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$.
Q7. Montrer que le grossissement $G_{Huy}$ de la lunette de Huygens s’exprime en fonction des distances focales des lentilles $L_1$ et $L_2$ constituant la lunette : $G_{Huy}=\frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}$.
Q8. Calculer la valeur du grossissement $G_{Huy}$ de la lunette utilisée par Huygens.
Q9. Conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. La distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à $D_{A-B}=3,17\times 10^4$ km.

2. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique
Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l’angle caractéristique de diffraction vérifie la relation : ${\theta }_{diff}=1,22\times \frac{\lambda }{a}$ avec $\lambda$ la longueur d’onde et $a$ le diamètre de l’objectif.
Une lunette ne permet de distinguer deux points A et B que si l’écart angulaire $\theta$ entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l’angle caractéristique de diffraction ($\theta \ge {\theta }_{diff}$).

Q10. Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d’observer les anneaux de Saturne contrairement à Huygens. Une approche quantitative est attendue ($\lambda =550$ nm).

3. Découverte de Titan par Huygens
Q11. Justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties (en s'appuyant sur le texte historique fourni).
Le mouvement de Titan est étudié dans le référentiel saturnocentrique supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(T,\overrightarrow{u_t},\overrightarrow{u_n})$. La période de révolution $T_{Huy}$ donnée par Huygens est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ».
Q12. Donner l’expression vectorielle de la force d’interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de $G,M_S,M_T,R$ et de l’un des vecteurs unitaires.
Q13. Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire. Montrer qu’il est uniforme puis que l’expression de la vitesse du satellite s’écrit sous la forme : $v=\sqrt{\frac{G\cdot M_S}{R}}$.
Q14. En déduire l’expression de la période de révolution notée $T_{Kep}$ de Titan. Calculer sa valeur. Commenter.

L’arôme de banane est un mélange complexe de plusieurs espèces chimiques naturelles. Le principal constituant de cet arôme est l’éthanoate de 3-méthylbutyle aussi appelé acétate d’isoamyle.
L’équation de la réaction de synthèse est la suivante :
$$\text{3-meˊthylbutan-1-ol}+\text{acide eˊthanoı¨que}\rightleftharpoons \text{eˊthanoate de 3-meˊthylbutyle}+P$$

Données :

• Table de données de spectroscopie infrarouge :

1. Identification des espèces mises en jeu dans la réaction
Q1. Représenter la formule topologique des réactifs et de l’éthanoate de 3-méthylbutyle. Entourer les groupes caractéristiques et identifier les familles fonctionnelles correspondantes.
Q2. Justifier que le produit P obtenu lors de cette synthèse est de l’eau.
Q3. Attribuer, à l’aide des données et en justifiant, chacun des spectres A et B soit à l’acide éthanoïque, soit à l’éthanoate de 3-méthylbutyle.

2. Comparaison de protocoles de synthèse
Données physico-chimiques à 20°C :

Protocole A : synthèse avec montage de chauffage à reflux

• Étape 1 : mélange de 22 mL de 3-méthylbutan-1-ol, 15 mL d’acide éthanoïque pur et 10 gouttes d’acide sulfurique concentré.
• Étape 2 : chauffage à reflux pendant 45 minutes.
• Étape 3 : lavage de la phase organique (eau salée, hydrogénocarbonate de sodium) puis séchage.
• Masse obtenue : $m_B=19,7$ g.

Q4. Nommer les étapes 2 et 3 du protocole A.
Q5. Préciser le sens du mot catalyseur.
Q6. Préciser l’utilité du montage de chauffage à reflux dans ce protocole.
Q7. Lors du second lavage (étape 3), on observe un dégagement gazeux. Proposer une explication et justifier l’utilité de cette étape.
Q8. Déterminer le réactif limitant utilisé dans le protocole A puis calculer le rendement de la synthèse.

Protocoles B et C :

• Protocole B : Chauffage au micro-ondes (800 W pendant 30 s). Rendement = 87 %.
• Protocole C : Chauffage avec appareil de Dean-Stark (extraction de l'eau). Rendement = 85 %.
  Le chauffe-ballon (A et C) consomme $4,1\times 10^5$ J.

Q9. Calculer l’énergie utilisée dans le protocole B. Commenter.
Q10. À l’aide de la figure 1, identifier, en le justifiant, quel protocole répond le mieux aux principes directeurs de la chimie verte.

L’aspirine est le nom commercial de l’acide acétylsalicylique. Cet exercice a pour objectif d’étudier un sachet de médicament contenant de l’acétylsalicylate de DL-lysine.

Données :

• Composition : 900 mg d’acétylsalicylate de DL-lysine équivalent à un apport de 500 mg en acide acétylsalicylique.
• Solution obtenue par dissolution d'un sachet dans 40 mL d'eau : pH = 5,0.
• Couple acide-base (acide acétylsalicylique / ion acétylsalicylate) : $p{K}_A=3,5$ à 25 °C.
• Masses molaires : $M(\text{acide})=180,2$ g$\cdot$mol${}^{-1}$ ; $M(\text{DL-Lysine})=146,2$ g$\cdot$mol${}^{-1}$.
• Diagramme de prédominance de la DL-Lysine (pKa à 2,2 ; 9,2 et 10,7).

Q1. Représenter la formule semi-développée de l’ion acétylsalicylate.
Q2. La DL-lysine appartient à la famille des acides aminés. Proposer une explication.
Q3. Indiquer la forme prédominante des espèces associées à l’acide acétylsalicylique et à la DL-lysine présentes dans la solution de médicament (pH = 5,0).
Q4. Justifier alors que le titrage acide-base direct par un acide fort ne permet pas de déterminer la quantité d’ion acétylsalicylate.

Dosage spectrophotométrique :
On réalise le protocole suivant pour vérifier l'indication "500 mg" :

• Étape 1 : Dissolution d'un sachet dans $V_1=250$ mL avec de la soude en excès (formation de l'ion salicylate).
• Étape 2 : Prélèvement de $V_2=5,0$ mL, introduction dans une fiole de $V_3=50,0$ mL complétée par une solution de nitrate de fer (III) en excès. Il se forme une espèce colorée B.
• La mesure de l’absorbance de la solution S obtenue donne $A=0,80$.

Q5. Proposer une valeur de la longueur d’onde appropriée pour le dosage (d'après la figure 2) et en déduire la couleur de la solution contenant l’espèce B (d'après le cercle chromatique).
Q6. En considérant que l’incertitude-type associée à la détermination de la masse a pour valeur $u(m)=30$ mg, vérifier si la masse équivalente $m_{exp}$ d’acide acétylsalicylique présente dans le sachet est en accord avec les informations de la notice.
On utilisera le quotient $\frac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ pour conclure.