Bac 2023 Physique-chimie : sujet et corrigé

Données :
Masse molaire de l’acide lactique : $M=90,1\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$

Calculs d’incertitudes :

• Dans les conditions de l’expérience, les incertitudes-type sur la concentration de la solution ($S_2$) d’hydroxyde de sodium et sur la valeur de $V_{eq}$ sont les suivantes :
  $u(C_2)=0,02\times 10^{-1}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ ; $u(V_{eq})=0,25\text{ mL}$

• Incertitudes-type de quelques éléments de verrerie, à 20 °C :

  Pipette jaugée	Burette graduée	Fiole jaugée
  $10,00\pm 0,02\text{ mL}$	$25,00\pm 0,05\text{ mL}$	$100,0\pm 0,1\text{ mL}$
  $20,00\pm 0,03\text{ mL}$	$50,00\pm 0,10\text{ mL}$	$200,0\pm 0,2\text{ mL}$
  $25,00\pm 0,05\text{ mL}$

• L’incertitude-type sur la concentration de la solution ($S_0$) d’acide lactique peut être obtenue grâce à la relation suivante : $u(C_0)=C_0\times \sqrt{{\left(\frac{u(C_2)}{C_2}\right)}^2+{\left(\frac{u(V_{eq})}{V_{eq}}\right)}^2+{\left(\frac{u(V_1)}{V_1}\right)}^2}$

• Afin de vérifier la compatibilité entre une valeur expérimentale $C_0$ et une valeur de référence $C_{0,r\acute{e}f}$, on calcule le rapport, appelé écart normalisé : $z=\frac{|C_0-C_{0,r\acute{e}f}|}{u(C_0)}$. Si $z\le 2$, la valeur expérimentale et la valeur de référence sont jugées compatibles.

Indicateurs colorés :

Table de nombres d’onde associés aux bandes des spectres infrarouge :

Partie A - Dosage d’une solution d’acide lactique

L’acide lactique est une molécule biosourcée. Sa représentation développée est donnée en figure 1.

A.1. Représenter la formule topologique de l’acide lactique, puis entourer les groupes caractéristiques. Nommer les familles fonctionnelles de cette molécule.

Industriellement, l’acide lactique est principalement produit par fermentation bactérienne. À l’issue de cette étape, on obtient une concentration en acide lactique comprise entre $53\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$ et $85\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
On cherche à vérifier par titrage la concentration en acide lactique dans une lotion cosmétique ($S_0$), dont la concentration de référence annoncée est de $C_{0,r\acute{e}f}=65\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
L’acide lactique sera noté $AH$ et sa base conjuguée $A^{-}$. On prépare une solution ($S_1$) en diluant dix fois la solution ($S_0$).

Protocole du titrage :

• À l’aide d’une pipette jaugée, prélever $V_1=20,00\text{ mL}$ de la solution ($S_1$), les verser dans un bécher de $100\text{ mL}$ et y introduire un barreau aimanté.
• Placer le bécher sur un dispositif d’agitation magnétique.
• Remplir une burette graduée de $25,00\text{ mL}$ d’une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium ($S_2$) ($N{a}^{+}(aq)+H{O}^{-}(aq)$) de concentration $C_2=1,00\times 10^{-1}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
• Étalonner le $pH$-mètre et immerger la sonde dans la solution à titrer.
• Effectuer le titrage de la solution ($S_1$) contenue dans l’erlenmeyer par la solution ($S_2$) contenue dans la burette graduée en suivant l’évolution du $pH$.

A.2. Schématiser et légender le dispositif expérimental utilisé pour réaliser le titrage.
A.3. Écrire l’équation de la réaction support du titrage.
A.4.1. À partir de la courbe figurant sur l’ANNEXE I, déterminer, en justifiant, le volume $V_{eq}$ de solution titrante ($S_2$) versé à l’équivalence.
A.4.2. En déduire la concentration en quantité de matière $C_0$ en acide lactique dans la solution ($S_0$).
A.4.3. Calculer l’incertitude-type $u(C_0)$ associée à la mesure de la concentration en acide lactique dans la solution ($S_0$).
A.4.4. Comparer le résultat de la mesure de la concentration $C_0$ à la valeur de référence en calculant l’écart normalisé $z$. Conclure.
A.5. Proposer, en justifiant, le nom d’un indicateur coloré permettant de repérer l’équivalence du titrage de l’acide lactique.

Partie B - Dégradation du PLA

L’acide polylactique (PLA) est un polymère biodégradable (figure 2).

B.1. Attribuer chacun des deux spectres infrarouge A et B (figure 3) à une espèce chimique (acide lactique et PLA). Justifier la réponse.

Le PLA se dégrade en présence d’eau selon la réaction : $A+H_{2}O\to B+\text{acide lactique}$.
La cinétique a été étudiée pour évaluer l’influence de la température (figure 4). Le rapport $\frac{C_{PLA}}{C_{PLA,0}}$ correspond au rapport entre la concentration en masse de PLA au temps $t$ et la concentration en masse initiale.

B.2.1. Identifier, à partir de données expérimentales, un ou plusieurs facteurs cinétiques.
B.2.2. La vitesse de cette transformation augmente en milieu acide. En déduire le rôle joué par l’ion oxonium.
B.3.1. Évaluer le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ de cette transformation pour la température $\theta =160\text{ °C}$.
B.3.2. Indiquer qualitativement comment évolue le temps de demi-réaction pour ${\theta }_1=140\text{ °C}$ et pour ${\theta }_2=180\text{ °C}$.

Données :

• Distance $A_{\infty }{B}_{\infty }=1,1\times 10^8\text{ m}$.
• La longueur d’onde de la radiation la plus lumineuse diffusée par Saturne est $\lambda =705\text{ nm}$.
• L’angle apparent $\alpha$ sous lequel est vu un objet $AB$ à l’œil nu est représenté sur la figure 2.
• On considère qu’un œil normal ne peut pas distinguer deux points objets $A$ et $B$ très proches si l’angle apparent sous lequel ils sont vus est inférieur à $2,9\times 10^{-4}\text{ rad}$.
• L’angle apparent sous lequel le système d’anneaux de Saturne est vu depuis la Terre vaut $\alpha =8\times 10^{-5}\text{ rad}$ quand Saturne est au plus près de la Terre.
• Pour des petits angles exprimés en radians, on peut écrire $\tan \alpha \approx \alpha$.
• La limite de résolution angulaire d’un instrument d’optique est ${\alpha }_{lim}=1,22\times \frac{\lambda }{D}$ où $D$ est le diamètre de l’objectif.

Partie A - Limite de résolution d’une lunette astronomique et pouvoir séparateur de l’œil

A.1. Déterminer s’il est possible ou non de profiter du « spectacle exceptionnel » que peut offrir l’observation de la planète Saturne avec ses anneaux à l’œil nu.

On observe Saturne avec une lunette dont la notice est en figure 3 :

A.2. À partir du critère de Rayleigh, déterminer la limite de résolution angulaire ${\alpha }_{lim}$ de cette lunette commerciale.
A.3. Indiquer si le phénomène ondulatoire limitant la résolution empêche ou pas l’observation de Saturne avec la lunette proposée.

Partie B - Formation de l’image de Saturne et de ses anneaux

Sur le schéma de l’ANNEXE II, on modélise la lunette par deux lentilles minces convergentes $L_1$ (objectif) et $L_2$ (oculaire). La lunette est afocale.

B.1.1. Identifier sur le schéma de l’ANNEXE II l’objectif $L_1$ et l’oculaire $L_2$.
B.1.2. Positionner sur le schéma : les centres optiques $O_1$ et $O_2$ ; le foyer image $F_1^{\prime }$ de $L_1$ et le foyer objet $F_2$ de $L_2$.
B.2. Représenter sur le schéma : l'image intermédiaire $A_1{B}_1$ ; le faisceau émergent de la lunette issu de $B_{\infty }$ et passant par les bords de l’objectif.

Partie C - Grossissement de la lunette astronomique

Le grossissement est $G=\frac{{\alpha }^{\prime }}{\alpha }$.
C.1. Repérer ${\alpha }^{\prime }$ sur le schéma de l’ANNEXE II.
C.2. Établir l’expression du grossissement $G$ en fonction des distances focales $f_1^{\prime }$ de l’objectif et $f_2^{\prime }$ de l’oculaire.
C.3. Valider la valeur du grossissement « 45 X » pour l'oculaire de $20\text{ mm}$.
C.4. Déterminer si l’œil peut théoriquement discerner les anneaux de Saturne avec l’aide de cette lunette.

Partie A - Étude de la capacité du capteur en fonction de l’humidité

La capacité d’un condensateur plan est : $C=\frac{{ϵ}_0{ϵ}_{r}S}{\ell }$.

• $C$ : capacité (F) ; ${ϵ}_0$ : permittivité du vide ; ${ϵ}_r$ : permittivité relative du milieu ; $S$ : surface des armatures ; $\ell$ : distance entre les armatures.

A.1. La permittivité de l’air est ${ϵ}_{r,air}=1,0$ alors que celle de l’eau est ${ϵ}_{r,eau}=80$. En déduire le milieu pour lequel la capacité sera la plus grande.
A.2. Justifier que, pour une même charge $q$, la tension $u_C$ est plus faible dans l’eau que dans l’air.

Partie B - Étude de la charge d’un condensateur

Le circuit (figure 3) comporte un condensateur $C_{air}$ en série avec un générateur idéal de tension $E$ et une résistance $R$. Le condensateur est initialement déchargé.

B.1. Établir la relation entre $E$, $u_R(t)$ et $u_C(t)$.
B.2. Donner la relation entre $i(t)$ et $q(t)$. Préciser les unités.
B.3. Montrer que l'équation différentielle est : $\frac{d{u}_C(t)}{dt}+\frac{1}{R\times C_{air}}{u}_C(t)=\frac{E}{R\times C_{air}}$
B.4.1. Montrer que $u_C(t)=E\times (1-e^{-\frac{t}{\tau }})$ est solution si $\tau =R\times C_{air}$.
B.4.2. Nommer le produit $R\times C_{air}$.
B.5. Montrer qu'après un temps long, $Q_{charg\acute{e}}=C_{air}\times E$.

PARTIE C - Utilisation en situation du capteur

Le microcontrôleur lit une valeur sur la broche A0. Dans l'air, la valeur est $595$. Dans l'eau, elle est $217$.

C.1. Recopier et compléter la ligne 6 du code (figure 4) pour la valeur dans l'eau.
C.2. Expliquer pourquoi la valeur dans la terre sera comprise entre $217$ et $595$.
C.3. Proposer une expression littérale du pourcentage d’humidité relative en fonction de « valeur_exp », « sec » et « eau ».
C.4. Donner le code à écrire à la ligne 17 pour calculer « pourcentage_humidite ».

Extrait du code (Figure 4) :

5 const int sec = 595; 
6 const int eau = ; // À COMPLÉTER
...
15 int valeur_exp = analogRead(A0);
17 int pourcentage_humidite = ; // À COMPLÉTER