Bac 2023 Physique-chimie : sujet et corrigé

Les abeilles sont capables de communiquer entres elles pour repérer les sources de nourriture et les sources de danger. Elles récoltent le nectar des fleurs pour le transformer en miel. Les miels vendus dans le commerce sont régulièrement analysés pour détecter d’éventuelles fraudes.

Les parties A, B et C de l’exercice sont indépendantes.

Partie A : Du nectar au miel

Les abeilles utilisent le nectar présent dans les fleurs pour fabriquer leur miel. Le nectar est aspiré par la trompe de la butineuse, puis il est emmagasiné dans son jabot où il est transformé en raison de l’absorption d’eau et de l’apport de salive riche en invertase. De retour à la ruche, la butineuse régurgite le contenu de son jabot aux ouvrières qui poursuivent la transformation dans leurs propres jabots.

Lors de cette transformation, le saccharose présent dans le nectar réagit avec l’eau pour former du glucose et du fructose qui sont les principaux constituants du miel. La molécule d’eau « casse » la molécule de saccharose en deux. On parle d’hydrolyse du saccharose. Cette transformation chimique est une transformation totale.

L’équation de la réaction d’hydrolyse est la suivante :
$$C_{12}{H}_{22}{O}_{11}+H_{2}O\to C_6{H}_{12}{O}_6+C_6{H}_{12}{O}_6$$
saccharose (S) + eau $\to$ glucose (G) + fructose (F)

La température à l’intérieur de la ruche reste égale à $35\text{ °C}$.
On se propose de déterminer l’ordre de la réaction d’hydrolyse du saccharose.
À température constante, à $pH=5$ constant, on mélange du saccharose avec de l’eau (sans invertase) et on suit l’évolution de la concentration du saccharose en fonction du temps. On obtient le graphique représenté sur la figure 1. $[S]$ désigne la concentration en saccharose à l’instant $t$ :

Figure 1 : Graphique représentant l’évolution de la concentration [S] en fonction du temps.
(Graphique montrant une décroissance de $[S]$ de $0,40$ à environ $0,10\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ sur $1000\text{ h}$)

A.1. Justifier en quoi la transformation chimique peut être considérée comme lente.
A.2. En utilisant la figure 1, déterminer la concentration initiale en saccharose $[S{]}_0$.
A.3. Estimer, en expliquant la démarche, la valeur du temps de demi-réaction $t_{1/2}$.
A.4. Définir la vitesse volumique de disparition $v_{disp}$ du saccharose en fonction de la concentration en saccharose $[S]$.
A.5. Indiquer, en justifiant qualitativement, comment varie la vitesse de disparition du saccharose au cours du temps.

On fait l’hypothèse que l’hydrolyse du saccharose suit une loi de vitesse d’ordre 1. Dans ce cas, on montre que la concentration en saccharose $[S]$ vérifie la relation $\ln [S]=-k\times t+\ln [S{]}_0$ avec $t$ le temps (en h), $k$ la constante de vitesse à la température de l’expérience (en ${\text{h}}^{-1}$) et $\ln [S{]}_0$ le logarithme népérien de la concentration initiale en saccharose (sans unité).

Les valeurs de $\ln [S]$ ont été calculées puis modélisées par la fonction $\ln [S]=-k\times t+\ln [S{]}_0$ à l’aide d’un programme Python. On obtient alors le graphique représenté sur la figure 2.

Figure 2 : Graphique représentant les données expérimentales et la modélisation.
(Graphique montrant une droite décroissante de $\ln [S]$ en fonction du temps)

A.6. À partir de la modélisation représentée sur la figure 2, justifier que l’hypothèse de la cinétique d’ordre 1 est validée.

Partie B : Mesure de l’acidité libre d’un miel de châtaignier

Le miel de châtaignier est majoritairement constitué de sucres ($77\%$) et d’eau ($19\%$) et son $pH$ est égal à $4,5$. Le principal acide présent dans le miel est l’acide gluconique dont la formule topologique est :
(Image de la formule topologique de l'acide gluconique : chaîne carbonée avec plusieurs groupements $-OH$ et une fonction acide carboxylique $-COOH$)

Par souci de simplification, on considèrera que l’acide gluconique est le seul acide présent dans le miel.
La teneur en acidité libre d’un miel s’exprime en milli-équivalents d’acide par kg de miel ($\text{mEq/kg}$). Elle correspond à la quantité de matière en $\text{mmol}$ d’acide gluconique présent dans $1,0\text{ kg}$ de miel. Pour respecter la règlementation européenne, l’acidité libre d’un miel ne doit pas dépasser $50\text{ mEq/kg}$.

Données :

• Couple acido-basique acide gluconique / ion gluconate : $C_5{H}_{11}{O}_{5}COOH(aq)/C_5{H}_{11}{O}_{5}CO{O}^{-}(aq)$
• Constante d’acidité du couple acide gluconique / ion gluconate en solution aqueuse à $25\text{ °C}$ : $p{K}_a=3,3$.

Protocole pour mesurer l’acidité libre du miel :

• Préparer un bécher avec $50,0\text{ mL}$ de solution aqueuse contenant $5,00\text{ g}$ de miel.
• Remplir la burette graduée avec la solution titrante d'hydroxyde de sodium $(N{a}^{+}(aq)+H{O}^{-}(aq))$ de concentration $C_B=1,00\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.
• Placer la sonde $pH$-métrique dans le bécher et mettre en marche l'agitateur magnétique.
• Tracer la courbe représentant le $pH$ en fonction du volume de la solution titrante.

On obtient le graphique suivant :
Figure 3 : Graphique représentant l’évolution du $pH$ de la solution titrée en fonction du volume $V_B$ de solution titrante versé.
(Courbe de titrage montrant un saut de $pH$ aux alentours de $V_B=9\text{ mL}$)

B.1. Donner la définition d’un acide selon Brönsted.
B.2. Si on considère que l’acide gluconique est le seul acide présent dans le miel, écrire l’équation de la réaction support du titrage.
B.3. Définir l’équivalence d’un titrage.
B.4. Déterminer si le miel de châtaignier respecte la règlementation européenne.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche. Toute démarche, même non aboutie, sera valorisée.

Partie C : Phéromone d’attaque de l’abeille

Pour transmettre un message chimique, les abeilles émettent des substances chimiques aux odeurs particulières, appelées phéromones. La phéromone d’attaque est l’éthanoate de 3-méthylbutyle qui est produite par des cellules bordant la poche à venin.
L’éthanoate de 3-méthylbutyle peut être synthétisé en laboratoire à partir du 3-méthylbutan-1-ol et de l’anhydride éthanoïque. La transformation chimique correspondante est modélisée par l’équation bilan ci-dessous :
$$C_5{H}_{12}O+C_4{H}_6{O}_3\to C_7{H}_{14}{O}_2+C_2{H}_4{O}_2$$
3-méthylbutan-1-ol + Anhydride éthanoïque $\to$ Ethanoate de 3-méthylbutyle + acide éthanoïque

Protocole : Pour obtenir l’éthanoate de 3-méthylbutyle, on chauffe à reflux un volume $V_1=9,9\text{ mL}$ de 3-méthylbutan-1-ol avec un volume $V_2=8,6\text{ mL}$ d’anhydride éthanoïque, en présence d’acide sulfurique. Après séparation et rinçage, on obtient une quantité de matière finale d’éthanoate de 3-méthylbutyle $n_f=7,4\times 10^{-2}\text{ mol}$.

Données :

C.1. Justifier le double intérêt du chauffage à reflux.
C.2. À l’aide du protocole et des données, vérifier que la quantité de matière initiale du 3-méthylbutan-1-ol est $n_1=9,1\times 10^{-2}\text{ mol}$ et que la quantité de matière initiale d’anhydride éthanoïque est $n_2=9,1\times 10^{-2}\text{ mol}$.
C.3. Montrer que le rendement de la synthèse est d’environ $81\%$.
C.4. Proposer une méthode permettant d’améliorer ce rendement.

La fête de la musique est un événement populaire, inscrit dans les grands rendez-vous de l’année. [...] Sur ces chars, des petits orchestres ou des DJ ont été installés.
Soucieux de bien appliquer la réglementation, un DJ s’interroge sur le réglage de sa sono. En effet, le bruit du tracteur va s’ajouter au son de sa musique et il craint de dépasser le niveau sonore maximal autorisé fixé à $102\text{ dB}$ suite à la parution d’un décret au journal officiel.
L’objectif de l’exercice est de voir si le DJ doit adapter le réglage de sa sono ou s’il peut l’utiliser sans modification.

Données :

• Le niveau d’intensité sonore de la sono est réglé à $L_1=100\text{ dB}$ à une distance de $2\text{ m}$ de celle-ci lors des concerts traditionnels, c’est-à-dire sans tracteur.
• L’intensité sonore du tracteur utilisé vaut $I_2=1,00\times 10^{-3}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$ à $2\text{ m}$ du tracteur.
• L'intensité sonore de référence : $I_0=1,00\times 10^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$.

Partie A : Étude de quelques niveaux d’intensité sonores

A.1.1. Exprimer l’intensité sonore $I_1$ de la sono réglée pour les concerts traditionnels en fonction de $L_1$.
A.1.2. Vérifier que $I_1$ est égale à $1,00\times 10^{-2}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$.
A.2. Calculer l’intensité sonore $I_{tot}$ émise par l’ensemble {tracteur + sono}.
A.3. En déduire le niveau d’intensité sonore $L_{tot}$ correspondant à $I_{tot}$.
A.4. Indiquer, en justifiant, si le DJ a besoin de faire de nouveaux réglages de sa sono pour cette fête de la musique si particulière.
A.5. Préciser, sans calcul, si un spectateur situé sur le trottoir à $10m$ de la source {tracteur + sono} perçoit un niveau sonore supérieur, égal ou inférieur à $L_{tot}$. Justifier.
A.6. Répondre à la même question que précédemment pour un habitant, situé à $2\text{ m}$ de la source {tracteur + sono}, qui regarde passer le char derrière la fenêtre fermée de sa cuisine.

Partie B : Étude d’un solo de trompette

Le DJ diffuse un solo de trompette. Un spectateur enregistre une note de ce solo de trompette lorsque le char s’arrête devant lui (le moteur du tracteur est alors à l’arrêt). Il obtient, après traitement, l’enregistrement ci-dessous.

Figure 1 : Enregistrement de la note jouée par le trompettiste.
(Graphique de la tension en $V$ en fonction du temps en $s$, montrant un signal périodique complexe entre $0,000$ et $0,005\text{ s}$)

B.1. À partir de la figure 1, déterminer la fréquence $f$ de la note émise par le trompettiste en explicitant la démarche.

Le DJ s’intéresse à la sensibilité de l’oreille humaine normale en fonction de la fréquence et du niveau d’intensité sonore, illustrée par le diagramme de FLETCHER et MUNSON de la figure 2. Ce diagramme représente des courbes de même perception des sons par une oreille humaine normale (courbes isosoniques).

Figure 2 : Diagramme de FLETCHER et MUNSON
(Graphique $L(dB)$ en fonction de $f(Hz)$ montrant les seuils de sensation, de douleur et les courbes isosoniques)

B.2. Indiquer, en justifiant, si le seuil de douleur est atteint pour un spectateur placé à $2\text{ m}$ du char, lorsque la note de fréquence $f$ émise par le trompettiste est diffusée.

Le tir à l'arc à la perche verticale est très répandu dans la région des Hauts de France. Le jeu consiste à abattre des cibles, appelées « oiseaux », situées en haut d'une perche mesurant $30$ mètres, les premières cibles se trouvant à $25$ mètres du sol. Pour être susceptible de marquer des points l’archer doit faire en sorte que la flèche atteigne, au niveau de la perche, une hauteur comprise entre $25$ et $30\text{ m}$.

Dans cet exercice, on s’intéresse au mouvement de la flèche assimilée à un point matériel de masse $m$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les frottements seront négligés. La situation est représentée sur la figure 2.

Données :

• Masse d’une flèche : $m=1,00\times 10^2\text{ g}$.
• Intensité de la pesanteur : $g=9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$.

Partie A : Étude énergétique d’un tir vertical

L’archer tire une flèche verticalement et se demande si celle-ci dépassera le haut de la perche situé à $30\text{ m}$. On appelle $H$ la hauteur maximale atteinte par la flèche à l’instant $t=t_H$.
À l’instant initial $t=0$, l’archer lance sa flèche du point F. Le centre de gravité de la flèche F est situé à une hauteur $h=1,80\text{ m}$ du sol. Un capteur mesure la vitesse initiale $v_0$ de la flèche et indique $v_0=25,0\pm 0,5\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. On néglige tous les frottements. L’origine de l’énergie potentielle de pesanteur est prise au niveau du sol.

A.1. Donner l’expression de l’énergie mécanique $E_m(0)$ de la flèche à $t=0$ en fonction de $h,m,g$ et $v_0$.
A.2. Donner l’expression de l’énergie mécanique $E_m(t_H)$ de la flèche à $t=t_H$ en fonction de $m,g$ et $H$.
A.3. En déduire que $H=h+\frac{v_0^2}{2g}$.

L’incertitude-type $u(H)$ sur $H$ se calcule avec la relation : $u(H)=\sqrt{(u(h){)}^2+{\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2(u(v_0){)}^2}$ où $u(x)$ désigne l’incertitude-type associée à la grandeur $x$.

A.4.1. Calculer $H$ en vous appuyant sur la question A.3.
A.4.2. Évaluer $u(H)$ sachant que $u(h)=0,01\text{ m}$, puis donner un encadrement de la valeur de $H$.
A.4.3. Indiquer si la flèche dépasse le haut de la perche. Justifier.

Partie B : Étude de la trajectoire de la flèche lors d’un tir visant le mat

L’archer situé à une distance $D=5\text{ m}$ de la base de la perche essaie maintenant d’atteindre les oiseaux situés sur le mat en tirant la flèche avec un angle de tir $\alpha =80°$. À l’instant initial $t=0\text{ s}$, le centre de gravité de la flèche F est situé à une hauteur $h=1,80\text{ m}$ du sol. La vitesse initiale est notée $\overrightarrow{v_0}$ et a pour valeur $v_0=25,0\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

B.1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la flèche.
B.2. En utilisant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées $a_x(t)$ et $a_y(t)$ du vecteur accélération $\vec{a}$ de la flèche.
B.3. Montrer que les équations horaires du mouvement de F ont pour expression :
$x(t)=(v_0\cos \alpha )t$ et $y(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+(v_0\sin \alpha )t+h$

B.4. Montrer que l'équation de la trajectoire $y(x)$ de F peut s’écrire :
$$y(x)=-\frac{1}{2}\times \frac{g{x}^2}{v_0^2{\cos }^2\alpha }+(\tan \alpha )x+h$$

B.5. Indiquer, en justifiant, si son tir peut lui permettre de marquer des points.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche. Toute démarche, même non aboutie, sera valorisée.