Brevet 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est ici demandée. Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Écrire sur votre copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1 : Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$. Quelle est la représentation de la fonction $f$ ?
(Réponse A : Droite croissante passant par (0;3) et (1.5;0); Réponse B : Droite décroissante passant par (0;3) et (1.5;0); Réponse C : Droite croissante passant par (0;-2))

Question 2 : On considère la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-contre. D’après le graphique, quelle est l’image de 1 par cette fonction ?
Réponse A : L'image de 1 est 2.
Réponse B : L'image de 1 est -2.
Réponse C : L'image de 1 est 0.

Question 3 : On donne ci-contre un tableau de valeurs de la fonction $h$ définie par $h(x)=-x+1$ réalisé à l’aide d’un tableur :

Quelle formule a-t-on saisie dans la case B2 avant de l’étirer vers la droite ?
Réponse A : $=-(-3)+1$
Réponse B : $=-x+1$
Réponse C : $=-B1+1$

Question 4 : Quelle est la forme développée de l’expression $(3x-7{)}^2$ ?
Réponse A : $3x^2-49$
Réponse B : $9x^2-42x+49$
Réponse C : $9x^2-49$

Olivia a décidé d’installer, sur le sol plat de son jardin, quatre panneaux photovoltaïques pour produire une partie de l’électricité qu’elle consomme.
Description : Un panneau photovoltaïque est un dispositif permettant de générer de l’électricité à partir de l’énergie lumineuse.
Caractéristiques d’un panneau :

• Longueur : 1 700 mm
• Largeur : 1 000 mm
• Épaisseur : 40 mm
• Fonctionnement optimal : inclinaison par rapport à l’horizontale comprise entre 30° et 35°
• Orientation : Sud

Pour incliner ses panneaux et obtenir un fonctionnement optimal, Olivia choisit de fabriquer elle-même un support composé de 3 équerres identiques, reliées par 3 barres latérales de 4m de long.

1. a) Vérifier que la distance HS arrondie au millimètre est égale à 166,4 cm.
   b) Pour que le panneau soit bien tenu, le fabricant conseille que la distance HS du support mesure au moins 95% de la longueur du panneau (1 700 mm). Ce support sera-t-il conforme au conseil du fabricant ?
2. L’angle d’inclinaison $\widehat{HSP}$ permettra-t-il un fonctionnement optimal des panneaux ?
3. Pour consolider l’ensemble, Olivia fixe une barre de renfort de 50 cm de longueur. Sur le plan, cette barre est représentée par le segment [UT] perpendiculaire au segment [PS]. Calculer la longueur ST. On arrondira au millimètre.
4. Olivia achète des tubes en acier inoxydable de longueur 4,5 m à 37 € l’unité. Montrer qu’elle doit prévoir un budget minimum de 222 € pour l’achat des tubes pour les trois équerres et les trois barres latérales.

Dans cet exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-dessous.

Partie A :
Jeu 1 : Un sac contient 5 boules : 1 portant la lettre N, 2 portant la lettre G et 2 portant la lettre P.

1. On pioche une boule au hasard. On gagne si on pioche la lettre G. Montrer que la probabilité de gagner est de $\frac{2}{5}$.
   Jeu 2 : Une roue à 6 secteurs identiques numérotés de 1 à 6.
2. On fait tourner la roue. On gagne si on s'arrête sur un nombre premier. Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
3. a) Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?
   b) Proposer une liste de boules à rajouter pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de $\frac{1}{4}$.

Partie B :
On choisit de combiner les deux jeux. Le joueur tire une boule dans le sac du jeu 1, puis fait tourner la roue du jeu 2. Le joueur gagne s’il a tiré la lettre G et si la roue s’arrête sur un nombre premier. Quelle est la probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux ?

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre
• Prendre le carré de ce nombre
• Multiplier le résultat par 2
• Ajouter le nombre de départ
• Soustraire 66

1. a) Montrer que si le nombre choisi au départ est 4, le résultat obtenu est -30.
   b) Quel résultat obtient-on si le nombre choisi au départ est -3 ?
2. a) On souhaite compléter le bloc Scratch « Programme de calcul ». Écrire le contenu à insérer dans les emplacements A et B (A * nombre choisi ; B * Résultat).
   b) Lucie observe que le lutin répond « On peut choisir comme nombre de départ 5.5 ». À quoi correspond cette valeur ?
3. On nomme $x$ le nombre choisi au départ.
   a) Déterminer l'expression obtenue par ce programme en fonction de $x$.
   b) On admet que $(2x-11)(x+6)$ est la forme factorisée. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ le résultat est-il égal à 0 ?

Un professionnel et un amateur font une séance de karting sur une piste constituée de segments, de demi-cercles et de quarts de cercles. Le professionnel fait un tour en 60 s, l’amateur en 72 s.

1. Montrer que la longueur de la piste est de 1 045 m, arrondie à l'unité près. (Données : segments de 90m, 120m, 60m ; rayons de 30m...)
2. Calculer la vitesse moyenne du professionnel en m/s (arrondie au centième).
3. Les amateurs ne doivent pas dépasser 60 km/h de moyenne. Cet amateur respecte-t-il les règles ?
4. Ils partent en même temps de la ligne de départ.
   a) Décomposer 60 et 72 en produit de facteurs premiers.
   b) Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois sur la ligne de départ ensemble ?
   c) Combien auront-ils alors effectué de tours chacun ?