Brevet 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Suite à la hausse du prix de l'électricité, Olivier souhaite investir dans une installation de panneaux solaires pour réduire ses factures. Il décide de se rendre au salon de l'habitat qui se déroule à Nouméa. Il rencontre trois commerçants qui lui proposent des tarifs différents pour la même installation de $6$ kW, mais lequel choisir ?

Partie 1
Un premier commerçant propose des prix où tout est compris (installation + pose) répertoriés dans le tableau de proportionnalité suivant :

1. Faire une phrase en expliquant pourquoi Olivier souhaite investir dans des panneaux solaires.
2. Calculer le coefficient de proportionnalité en vous aidant du tableau. On précisera les étapes du calcul. Arrondir à l'unité.
3. Représenter le coût en fonction de la puissance de l'installation en plaçant les points dans le repère ci-dessous.

Partie 2
Un deuxième commerçant propose un prix pour l’installation de $140000$ francs CFP par kW (kilowatt) auquel il ajoute $100000$ francs CFP pour la pose.

4. Parmi les expressions suivantes, entourer celle qui correspond au coût total (installation et pose). La variable $x$ correspondant au nombre de kW de l'installation :

• $100000x+140000$
• $140000x+100000$
• $240000x$

5. Calculer le coût pour une installation solaire de $6$ kW avec la pose en précisant l’unité. On précisera les étapes du calcul.

Partie 3
Un troisième commerçant propose le devis présenté dans le tableau ci-dessous pour l’installation et la pose d’une installation solaire de $6$ kW.

6. Compléter le devis. Aucune justification n’est demandée.

7. Faire une phrase expliquant le choix qu’Olivier pourrait faire entre le premier, le deuxième ou le troisième commerçant pour que ce soit le moins cher.

Une application sur smartphone permet à Olivier de suivre la production électrique de ses panneaux solaires en temps réel.
[Graphique de la production électrique d'Olivier du 04 avril 2023 : Puissance en Watt en fonction des Heures de la journée]

1. Donner l’intervalle de temps où on peut observer la production d’électricité par les panneaux solaires ?
2. Lire graphiquement la puissance générée à :
   a) 7h : ……
   b) 16h30 : ……
3. Lire graphiquement l’heure à partir de laquelle la puissance générée dépasse $4600$ W ?
4. Lire graphiquement la puissance maximale générée et donner l’intervalle de temps où cette puissance maximale est atteinte.
5. Donner la durée du passage nuageux ?

Le commerçant qu’Olivier a choisi pour installer ses panneaux solaires organise une loterie pour tous ses clients venus au salon de l’habitat. Les deux parties de l’exercice peuvent être réalisées de façon indépendante.

Partie 1 : la roue de la fortune

1. Citer les issues qui permettent de gagner un lot.
2. Donner la probabilité de gagner 2 panneaux lors d’un lancer.
3. Donner la ou les issue(s) dont la probabilité de gagner lors d’un lancer est de $25\%$.

Partie 2 : résultats des tirages du salon de l'habitat
Voici les résultats obtenus :
PERDU, 1 panneau, PERDU, porte-clé, PERDU, porte-clé, 2 panneaux, 1 panneau, PERDU, porte-clé, porte-clé, PERDU, porte-clé, PERDU, remise 10%, remise 10%, PERDU, remise 5%, 1 panneau, PERDU, PERDU, porte-clé, 2 panneaux, PERDU, remise 5%.

4. Compléter le tableau en utilisant les résultats de la loterie donnés dans l’encadré.

Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse en vous aidant des documents ci-dessus.

Affirmation n°1 : Pour obtenir un rendement optimal par les panneaux solaires, ceux-ci doivent être orientés vers le SUD-OUEST et inclinés de $35^{\circ }$.

Affirmation n°2 : L’aire d’un panneau solaire rectangulaire de longueur $200$ cm et de largeur $100$ cm est de $600$ cm${}^2$.

Affirmation n°3 : Le triangle ABC est un triangle rectangle en B.

Affirmation n°4 : L’angle $\alpha$ a une mesure de $37^{\circ }$ arrondi à l’unité.

Sébastien vient d’acheter une nouvelle voiture électrique et souhaite la décorer avec des autocollants. Il a réalisé son premier autocollant sur Scratch et obtenu l’image suivante.

1. Combien de branches possède l’étoile ?
2. Associer chaque programme (A, B ou C) au dessin d’étoile (1, 2 ou 3) qui correspond.

[Scripts Scratch A, B et C utilisant des boucles 'répéter' et des instructions de mouvement/rotation]

3. Compléter le script utilisé par Sébastien pour faire le « S » en faisant correspondre à chaque lettre (A, B, C, D, E) le terme qui convient (les couleurs sont « gris clair » et « noir »).

[Script Scratch incomplet avec des lettres A à E à remplacer]