Brevet 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Un centre de loisirs dispose d’un bâtiment et d’un espace extérieur pour accueillir des enfants.
L’espace extérieur, modélisé par un triangle, est partagé en deux parties : un potager (quadrilatère $DEFG$ hachuré) et une zone de jeux (triangle $EFC$), comme représenté par la figure ci-contre.

Données :

• Les points $C$, $E$ et $D$ sont alignés.
• Les points $C$, $F$ et $G$ sont alignés.
• Les droites $(EF)$ et $(DG)$ sont parallèles.
• Les droites $(DG)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
• $CE=30$ m ; $ED=10$ m et $DG=24$ m.

1. Déterminer la longueur $CD$.
2. Calculer la longueur $CG$. Arrondir au dixième de mètre près.
3. L’équipe veut séparer la zone de jeux et le potager par une clôture représentée par le segment $[EF]$.
   Montrer que la clôture doit mesurer $18$ m.
4. Pour semer du gazon sur la zone de jeux, l’équipe décide d’acheter des sacs de $5$ kg de graines à $22,90$ € l’unité. Chaque sac permet de couvrir une surface d’environ $140$ m².
   Quel budget doit-on prévoir pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la zone de jeux ?
5. La directrice du centre affirme que la surface du potager est plus grande que celle de la zone de jeux. A-t-elle raison ?

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse sur la copie.

1. Un sac de billes opaque contient deux billes rouges, trois billes vertes et trois billes bleues. Les billes sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une bille dans ce sac. Quelle est la probabilité d’obtenir une bille rouge ?
   Réponses : A: $\frac{2}{6}$ ; B: $\frac{1}{4}$ ; C: $\frac{3}{8}$

2. Si je souhaite augmenter un prix de $25$ %, par quel coefficient dois-je multiplier ce prix ?
   Réponses : A: $1,25$ ; B: $0,25$ ; C: $0,75$

3. Sur la figure suivante, le triangle ② est l’image du triangle ① par une transformation. Quelle est cette transformation ?
   Réponses : A: Une translation ; B: Une homothétie de centre $D$ et de rapport $-3$ ; C: Une homothétie de centre $D$ et de rapport $3$

4. On considère une fonction $f$ définie par : $f(x)=-9-7x$. Quelle est l’affirmation correcte ?
   Réponses : A: $f$ est une fonction affine ; B: $f$ est une fonction linéaire ; C: $f$ n’est ni une fonction affine ni une fonction linéaire.

5. Une année-lumière est une unité de longueur égale à environ $9461$ milliards de kilomètres. À quelle distance en mètre cela correspond-il ?
   Réponses : A: $9,461\times 10^{15}$ m ; B: $9,461\times 10^{12}$ m ; C: $9,461\times 10^9$ m

6. Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $BC=5$ cm et $\widehat{ABC}=30^{\circ }$. Quelle expression donne la longueur $AB$ en centimètre ?
   Réponses : A: $5\times \sin 30^{\circ }$ ; B: $5\times \cos 30^{\circ }$ ; C: $\frac{5}{\cos 30^{\circ }}$

On considère le programme de calcul suivant :

• Nombre de départ
• Calculer le carré de ce nombre
• Multiplier par 5
• Ajouter 4
• Multiplier par 2
• Enlever 8
• Résultat

PARTIE A

1. Montrer que si $3$ est le nombre de départ, le programme donne un résultat égal à $90$.
2. Un élève choisit $2$ comme nombre de départ et un autre élève choisit $-2$. Montrer qu’ils doivent obtenir le même résultat.
3. Si on nomme $x$ le nombre de départ, montrer que le résultat du programme peut s’écrire $10x^2$.

PARTIE B
Dans cette partie, un élève cherche le ou les nombre(s) de départ qu’il doit choisir pour obtenir $30$ comme résultat.
4) Pour cela, il représente graphiquement la fonction $f$ associée au programme de calcul, définie par : $f(x)=10x^2$. Il obtient une courbe.
À l’aide du graphique, déterminer une valeur approchée des antécédents de $30$ par la fonction $f$. Ne pas justifier.
5) L’élève souhaite trouver une valeur plus précise de l’antécédent positif trouvé à la question précédente. Pour cela, il utilise une feuille de calcul.
a. Quelle formule a-t-il pu entrer dans la cellule B2 avant de l’étirer vers le bas ? Ne pas justifier.
b. Dans ce tableau, quel est le nombre de départ donnant le résultat le plus proche de $30$ ? Ne pas justifier.
6) Déterminer la valeur exacte du nombre positif cherché par l’élève.

Une élève souhaite réaliser un programme avec un logiciel de programmation pour dessiner des frises constituées de carrés et de rectangles.
Pour cela, elle commence par créer les 3 blocs (initialisation, carré, rectangle).

1. Quelles sont les coordonnées du lutin après exécution du bloc 1 ?
2. Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 du bloc 2 pour obtenir un carré ?
3. Construire ce que dessine le lutin lorsque le bloc 3 est utilisé. On prendra $1$ cm pour $20$ pas.
4. L’élève souhaite réaliser deux frises.
   a. Elle rédige le script ci-contre. Indiquer le numéro de la frise qu’elle va obtenir lorsque le drapeau vert est cliqué.
   b. Écrire un script permettant de réaliser la frise qui n’a pas été obtenue.

Un marchand de glaces souhaite préparer ses ventes pour l’été prochain. Voici quelques informations concernant son activité en juillet et août 2022.

• Prix de vente : 1 boule : $2,80$ € ; 2 boules : $3,50$ €.
• Nombre de pots vendus (tableau par semaine pour Juillet et Août).
• Dimension de la cuillère à glace : Diamètre $4,2$ cm.
• Rappel : $V=\frac{4}{3}\times \pi \times r^3$ ; $1$ dm${}^3=1$ L.

1. Calculer le nombre moyen de pots de glace vendus par semaine au cours de la période de juillet à août 2022.
2. Parmi tous les pots de glace vendus au cours de cette période, $67$ % sont des pots à une boule. Calculer la somme que rapporte la vente des pots de glace au cours de cette période.
3. On modélise les boules de glace par des boules de $4,2$ cm de diamètre.
   a. Montrer que le volume d’une boule de glace est d’environ $39$ cm${}^3$.
   b. Le vendeur utilise des bacs de glace contenant $10$ L chacun. Combien peut-il faire de boules de glace, au maximum, avec la glace contenue dans un bac ?