Brevet 2023 Mathématiques : sujet et corrigé

Les 5 situations suivantes sont indépendantes.

Situation 1
Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 780. Aucune justification n'est attendue.

Situation 2
On rappelle qu'un jeu de 32 cartes est composé de quatre familles (trèfle, carreau, cœur, pique). Chaque famille est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as. L'expérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir le 8 de pique ? Aucune justification n'est attendue.
b. Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur ? Aucune justification n'est attendue.

Situation 3
Développer et réduire l'expression $A$.
$A=(2x+5)(3x-4)$

Situation 4
a. Quel est le volume, en ${\text{cm}}^3$, de ce prisme droit ?
b. Convertir ce résultat en litre.
Rappel : $1\text{ L}=1{\text{ dm}}^3$
(Données de la figure : base triangulaire rectangle de côtés $80\text{ cm}$ et $60\text{ cm}$, longueur du prisme $120\text{ cm}$, côté incliné $100\text{ cm}$).

Situation 5
Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1. Le coefficient de cet agrandissement est 3. L'aire du polygone 1 est égale à $11{\text{ cm}}^2$.
Quelle est l'aire du polygone 2 ?

On considère la figure ci-contre. On donne les mesures suivantes :

• $AN=13\text{ cm}$
• $LN=5\text{ cm}$
• $AL=12\text{ cm}$
• $ON=3\text{ cm}$
• $O$ appartient au segment $[LN]$
• $H$ appartient au segment $[NA]$

1. Montrer que le triangle $LNA$ est rectangle en $L$.
2. Montrer que la longueur $OH$ est égale à $7,2\text{ cm}$.
3. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{LNA}$. Donner une valeur approchée à l'unité près.
4. Pourquoi les triangles $LNA$ et $ONH$ sont-ils semblables ?
5. a. Quelle est l'aire du quadrilatère $LOHA$ ?
   b. Quelle proportion de l'aire du triangle $LNA$ représente l'aire du quadrilatère $LOHA$ ?

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : Évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique.

1. Le diagramme en bâtons représente le nombre de visiteurs par an de 2010 à 2021.
   a. Quel a été le nombre de visiteurs en 2010 ? Aucune justification n'est attendue.
   b. En quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé ? Aucune justification n'est attendue.
2. Le tableau ci-dessous indique le nombre de visiteurs en 2020 ($187216$) et en 2021 ($219042$).
   Le maire avait pour objectif que le nombre de visiteurs progresse d'au moins $15\%$ entre 2020 et 2021. L'objectif a-t-il été atteint ?

Partie B : Étude des prix des hôtels de cette ville.
Sur une période donnée, on relève les prix facturés pour une nuit par les hôtels.
Tableau des effectifs :

• Prix : $60,80,85,90,110,120,350,500$
• Effectif : $1200,1350,1000,1100,1200,1300,900,300$

3. Déterminer l'étendue des prix facturés.
4. Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit ? Arrondir à l'euro près.
5. L'association des hôteliers annonce : « Dans les hôtels de notre ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de $100€$ ». Est-ce vrai ?

À l'aide d'un logiciel de programmation, on veut réaliser le motif « Fleur » suivant.

1. a. Le parallélogramme $KLMN$ représente un des pétales. Construire ce parallélogramme sur la copie en prenant $1\text{ cm}$ pour $5$ pas. (Données : $KL=35$ pas, $LM=20$ pas, $\widehat{KLM}=120^{\circ }$, $\widehat{LMN}=60^{\circ }$).
   b. On définit le bloc « Pétale » pour dessiner ce parallélogramme. On commence au point $K$ vers la droite. Par quelles valeurs compléter les lignes 4, 5, 6, et 7 du bloc ?

2. Le bloc « Fleur » permet de construire le motif complet.
   a. Par quelle valeur compléter la ligne 2 (répéter ... fois) ?
   b. Expliquer le choix de la valeur « 72 » dans la ligne 4 (tourner de 72 degrés).
   c. On modifie le bloc « Fleur » pour construire un nouveau motif composé de beaucoup plus de pétales. Quelles sont alors les modifications à apporter aux lignes 2 et 4 ?

Un hippodrome est composé de deux lignes droites de $850$ mètres et de deux virages modélisés par deux demi-cercles de rayon $40$ mètres.

1. Montrer que la longueur d'un tour de piste est d'environ $1951\text{ m}$.
2. Un cheval parcourt un tour de piste en $2\text{ min }9\text{ s}$.
   a. Calculer la vitesse moyenne en mètre par seconde (m/s). Valeur approchée à l'unité près.
   b. Convertir cette vitesse en kilomètre par heure (km/h).
3. On admet que la surface de la piste a une aire d'environ $73027{\text{ m}}^2$. On doit choisir des sacs de gazon parmi trois marques :

• Marque A : $500{\text{ m}}^2$ par sac, $141,95€$
• Marque B : $400{\text{ m}}^2$ par sac, $87,90€$
• Marque C : $300{\text{ m}}^2$ par sac, $66,50€$
  Quelle marque doit-on choisir pour que cela coûte le moins cher possible ?