Brevet 2022 Mathématiques : sujet et corrigé

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

• les points M, A et S sont alignés
• les points M, T et H sont alignés
• $MH=5\text{ cm}$
• $MS=13\text{ cm}$
• $MT=7\text{ cm}$

1. Démontrer que la longueur $HS$ est égale à $12\text{ cm}$.
2. Calculer la longueur $AT$.
3. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{HMS}$. On arrondira le résultat au degré près.
4. Parmi les transformations suivantes quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ ? Dans cette question, aucune justification n’est attendue. Recopier la réponse sur la copie.

5. Sachant que la longueur $MT$ est $1,4$ fois plus grande que la longueur $HM$, un élève affirme : « L’aire du triangle $MAT$ est $1,4$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$. »
   Cette affirmation est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte.
Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.

Pour être en bonne santé, il est recommandé d’avoir régulièrement une pratique physique. Une recommandation serait de faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. Sur $1,6$ million d’adolescents de $11$ à $17$ ans interrogés, $81\%$ d’entre eux ne respectent pas cette recommandation.
D’après un communiqué de presse sur la santé

1. Sur les $1,6$ million d’adolescents de $11$ à $17$ ans interrogés, combien ne respectent pas cette recommandation ?

Après la lecture de ce communiqué, un adolescent se donne un objectif.
Objectif : « Faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. »
Pendant $14$ jours consécutifs, il note dans le calendrier suivant, la durée quotidienne qu’il consacre à sa pratique physique :

2. a. Quelle est l’étendue des $14$ durées quotidiennes notées dans le calendrier ?
   b. Donner une médiane de ces $14$ durées quotidiennes.

3. a. Montrer que, sur les $14$ premiers jours, cet adolescent n’a pas atteint son objectif.
   b. Pendant les $7$ jours suivants, cet adolescent décide alors de consacrer plus de temps au sport pour atteindre son objectif sur l’ensemble des $21$ jours.
   Sur ces $7$ derniers jours, quelle est la durée totale de pratique physique qu’il doit au minimum prévoir pour atteindre son objectif ?

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.
On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation.
Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte.
Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est un rectangle.
Le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite.

Programme principal :

1. quand [drapeau] est cliqué
2. effacer tout
3. aller à x: -110 y: 0
4. répéter 3 fois
5. si <nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1> alors
6. croix
7. sinon
8. rectangle
9. fin
10. avancer de 100 pas
11. fin

Bloc « rectangle » :
définir rectangle
stylo en position d'écriture
Répéter 2 fois
avancer de 60 pas
tourner [droite] de 90 degrés
avancer de 80 pas
tourner [droite] de 90 degrés
fin
relever le stylo

Bloc « croix » :
Le script n’est pas donné.

Explication de l’instruction « nombre aléatoire entre… » sur un exemple :
nombre aléatoire entre 1 et 4 renvoie un nombre au hasard parmi 1, 2, 3 et 4.

1. En prenant pour échelle $1\text{ cm}$ pour $20$ pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
2. Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal : (Une croix suivie de deux rectangles). Quelle est la distance $d$ entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?
3. Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
4. Dessiner à main levée les $8$ affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme principal.
5. On admettra que les $8$ affichages ont la même probabilité d’apparaître. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
6. On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne 5.
   Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases :
   nombre aléatoire entre [ ] et [ ] = [ ]

On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :
Programme de calcul

• Calculer le carré du nombre de départ
• Ajouter le nombre de départ

PARTIE A

1. Vérifier que si le nombre de départ est $15$, alors le nombre obtenu à l’arrivée est $240$.
2. Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :
   Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ.

Quelle formule a pu être saisie dans la cellule B2 avant d’être étirée vers le bas ?
Aucune justification n’est attendue.
3) On note $x$ le nombre de départ. Écrire, en fonction de $x$, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.

PARTIE B
On considère l’affirmation suivante :
« Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit. »

4. Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est $9$.
5. Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
6. Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme de calcul est un nombre pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.