Brevet 2024 Mathématiques : sujet et corrigé

Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

1. Voici les prix en euros d'un vêtement relevés dans différents magasins :
   12 ; 15 ; 10 ; 7 ; 13
   Affirmation A : La moyenne des prix est 11,40 €.
   Affirmation B : La médiane des prix est 10 €.

2. Lors d'un entraînement, une élève court 20 m en 6 secondes.
   Affirmation C : Lors de cet entraînement, sa vitesse moyenne était de 14 km/h.

3. Une urne contient 15 boules indiscernables numérotées de 1 à 15.
   Affirmation D : La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est $\frac{7}{15}$.

4. Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport (– 3).
   Affirmation E : L'aire du triangle A'B'C' est égale à 3 fois l'aire du triangle ABC.

Données de la figure :
Triangle ABC : $AB=5\text{ cm}$, $AC=6\text{ cm}$, $BC=9\text{ cm}$.
Triangle A'B'C' : $A^{\prime }{C}^{\prime }=18\text{ cm}$, $A^{\prime }{B}^{\prime }=15\text{ cm}$, $B^{\prime }{C}^{\prime }=27\text{ cm}$.

Voici un programme de calcul :

• Choisir un nombre au départ
• D'une part, Ajouter 2 puis Multiplier par 4
• D'autre part, Multiplier par 5 puis Soustraire 3
• Multiplier les deux nombres obtenus
• Résultat obtenu à l'arrivée

1. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
2. Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $-3$ comme nombre de départ ?
3. On choisit $x$ comme nombre de départ. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.

• Expression A : $(x+2\times 4)(x\times 5-3)$
• Expression B : $(4x+2)(5x-3)$
• Expression C : $(4x+8)(5x-3)$
• Expression D : $(x+2)\times 4\times (5x-3)$

4. Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
5. Développer et réduire l'expression B.

Un cinéma propose trois tarifs :

• Tarif « Classique » : La personne paye chaque entrée 11 €.
• Tarif « Essentiel » : La personne paye un abonnement annuel de 50 € puis chaque entrée coûte 5 €.
• Tarif « Liberté » : La personne paye un abonnement annuel de 240 € avec un nombre d'entrées illimité.

1. Avec le tarif « Classique », une personne souhaite acheter trois entrées au cinéma. Combien va-t-elle payer ?

2. Avec le tarif « Essentiel », une personne souhaite aller huit fois au cinéma. Montrer qu'elle va payer 90 €.

3. Dans la suite, $x$ désigne le nombre d'entrées au cinéma. On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ suivantes :
   $f:x\mapsto 50+5x$
   $g:x\mapsto 240$
   $h:x\mapsto 11x$
   Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.

4. Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d'entrées ?

5. Pour les questions suivantes, aucune justification n'est attendue.
   a. Avec 150 €, combien peut-on acheter d'entrées au maximum avec le tarif « Essentiel » ?
   b. À partir de combien d'entrées, le tarif « Liberté » devient-il le tarif le plus intéressant ?
   c. Si on décide de ne pas dépasser un budget de 200 €, quel est le tarif qui permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées ?

M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de 15 cm.

1. Montrer que $FJ=4\text{ m}$.

2. Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?

3. M. et Mme Martin souhaitent réaliser $4{\text{ m}}^3$ de béton.
   a. Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à $4{\text{ m}}^3$.
   b. Sachant que pour faire $1{\text{ m}}^3$ de béton, il faut $250\text{ kg}$ de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser $4{\text{ m}}^3$ de béton ?
   c. Pour faire du béton, on ajoute de l'eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable. Dans ce mélange, les masses de ciment – gravier – sable sont dans le ratio $2:7:5$. Déterminer (en kg), la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les $4{\text{ m}}^3$ de béton.

4. M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse. À l'aide des documents 1, 2 et 3, déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.

Document 1 : Pots de peinture proposés
Pot A : 5L (79,90 €) ; Pot B : 10L (129,90 €)
Document 2 : L'offre du mois
Moins 50% sur le deuxième article identique.
Document 3 :
Deux couches de peinture sont nécessaires. 1 litre de peinture permet de réaliser une couche de $5{\text{ m}}^2$.

Dans cet exercice on considère la figure codée ci-contre.

• Les points A, C et E sont alignés.
• Les points B, C et D sont alignés.
• $AB=240\text{ mm}$.
• $CE=80\text{ mm}$.
• Angle $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, angle $\widehat{ABC}=60^{\circ }$.

Partie A

1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
2. Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

Partie B
On donne un programme Scratch qui permet de tracer la figure précédente.

1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?
2. Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ?
3. Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu'il vient d'exécuter la ligne 7 du programme ?
4. Expliquer l'instruction « côté / 3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure.